8.4C Encontre a solução geral dos seguintes sistemas:
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
dot x = A,x , com
e pede a solução geral. Para resolver, vamos diagonalizar
A : encontrar seus autovalores e autovetores.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I)=0 .
que pode ser reescrito como
Logo os autovalores são
lambda1=1 ,
lambda2=-1 e
lambda3=2 .
Passo 3
Para
lambda=1 resolvemos
(A-I)v=0 , isto é
Dessas equações segue
v2=v3 e
v1=v3 . Um autovetor conveniente é
Passo 4
Para
lambda=-1 temos
(A+I)v=0 , isto é
Dessas equações segue
v2=tfrac12v3 e
v1=tfrac12v3 . Tomando
v3=2 obtemos
Passo 5
Para
lambda=2 resolvemos
(A-2I)v=0 , ou seja
Dessas equações vem
v2=2v3 e
v1=v3 . Escolhendo
v3=1 temos
Passo 6
Como os três autovalores são distintos, temos três autovetores linearmente independentes e a solução geral é
Resposta
com
c1,c2,c3 constantes arbitrárias.