8.4C Encontre a solução geral dos seguintes sistemas:
ldotx1=2 x1+x2-2 x3 dotx2=3 x2-2 x3 dotx3=3 x1+x2-3 x3

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear homogêneo dot x = A,x, com
A = 2 & 1 & -2 0 & 3 & -2 3 & 1 & -3
e pede a solução geral. Para resolver, vamos diagonalizar A: encontrar seus autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico det(A-lambda I)=0.
det 2-lambda & 1 & -2 0 & 3-lambda & -2 3 & 1 & -3-lambda = -lambda^3 +2lambda^2 +lambda -2
que pode ser reescrito como
lambda^3 -2lambda^2 -lambda +2 = (lambda-1)(lambda+1)(lambda-2)=0
Logo os autovalores são
lambda1=1, lambda2=-1 e lambda3=2.

Passo 3

Para lambda=1 resolvemos (A-I)v=0, isto é
1 & 1 & -2 0 & 2 & -2 3 & 1 & -4 v=0
Dessas equações segue v2=v3 e v1=v3. Um autovetor conveniente é
v^(1) = 111

Passo 4

Para lambda=-1 temos (A+I)v=0, isto é
3 & 1 & -2 0 & 4 & -2 3 & 1 & -2 v=0
Dessas equações segue v2=tfrac12v3 e v1=tfrac12v3. Tomando v3=2 obtemos
v^(2) = 112

Passo 5

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0, ou seja
0 & 1 & -2 0 & 1 & -2 3 & 1 & -5 v=0
Dessas equações vem v2=2v3 e v1=v3. Escolhendo v3=1 temos
v^(3) = 121

Passo 6

Como os três autovalores são distintos, temos três autovetores linearmente independentes e a solução geral é
x(t) = c1 e^,1,t,v^(1) + c2 e^-1,t,v^(2) + c3 e^,2,t,v^(3)

Resposta

x(t) = c1 e^t111 + c2 e^-t112 + c3 e^2t121,
com c1,c2,c3 constantes arbitrárias.

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