Exercício 21. (Apostol seção 2.20 exercícios 1 a 8) Ache as soluções (se existirem dos seguintes sistemas)
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas x,y,z,u. O conteúdo é resolução de sistemas lineares por eliminação de Gauss: vamos usar operações elementares para determinar o posto da matriz e, se houver soluções, expressá-las em forma paramétrica.
Passo 2
Chamemos as equações de
E1:;x-2y+z+2u=-2, E2:;2x+3y-z-5u=9,
E3:;4x-y+z-u=5, E4:;5x-3y+2z+u=3
Multiplicando E1 por 2,4,5 e subtraindo de E2,E3,E4, em todos os casos obtemos a mesma equação
-7y+3z+9u=-13
Logo, só temos duas equações independentes (E1 e essa), o posto é 2 < 4, e há infinitas soluções com dois parâmetros livres.
Passo 3
Tomemos z=s e u=t como parâmetros livres. Da equação
-7y+3s+9t=-13
vem
y=13+3s+9t7
Substituindo em E1,
x=-2+2y-z-2u =-2+213+3s+9t7-s-2t =12 - s +4t7
Passo 4
Portanto a solução geral é
x=12 - s +4t7, y=13+3s+9t7, z=s, u=t,
com s,tinR.
Resposta
l(x,y,z,ur) =l(tfrac12 - s +4t7,,tfrac13+3s+9t7,,s,,tr), s,tinR