Dado o triângulo triang<= A B C, A=(3,-1,-1), B=(1,2,-7) e C=(-5,14,-3), encontre alpha: R longrightarrow R^3 cujo traço coincida com
a altura traçada por A.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo triang<= ABC em R^3 com
A=(3,-1,-1), B=(1,2,-7), C=(-5,14,-3)
e pede a reta que passa por A e é perpendicular a BC (a altura por A). Para isso vamos:
  1. Calcular o vetor BC.
  2. Encontrar o vetor normal ao plano triang<= ABC, vec n = ABtimes AC.
  3. Obter um vetor de direção vec v perpendicular a BC e que ainda esteja no plano, fazendo vec v = vec ntimes BC.
  4. Escrever a parametrização alpha(t)=A+t,vec v.

Passo 2

Calcular os vetores AB, AC e BC:
AB=B-A=(1-3,;2-(-1),;-7-(-1))=(-2,,3,,-6),
AC=C-A=(-5-3,;14-(-1),;-3-(-1))=(-8,,15,,-2),
BC=C-B=(-5-1,;14-2,;-3-(-7))=(-6,,12,,4)

Passo 3

A normal do plano ABC é
vec n=ABtimesAC =(;3cdot(-2)-(-6)cdot15,;-l((-2)cdot(-2)-(-6)cdot(-8)r),;-2cdot15-3cdot(-8);) =(84,,44,,-6)
Em seguida, para achar um vetor no plano e perpendicular a BC, fazemos
vec v=vec ntimesBC =(84,44,-6)times(-6,12,4) =(248,,-300,,1272)
Podemos simplificar dividindo por 4:
vec v=(62,,-75,,318)

Passo 4

A reta que é a altura por A tem equação vetorial
alpha(t)=A+t,vec v =(3,-1,-1)+t,(62,-75,318)
Ou seja,
alpha(t)=l(3+62t,;-1-75t,;-1+318tr), tin R

Resposta

alpha(t)=l(3+62t,;-1-75t,;-1+318tr), tin R

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