8.4C Encontre a solução geral dos seguintes sistemas:
ldotx1=x2 dotx2=-2 x1+3 x2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o seguinte sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
dotx1=x2, dotx2=-2,x1+3,x2
O conteúdo é resolução de sistemas lineares com coeficientes constantes. Vamos escrever em forma matricial dotx=A,x e usar autovalores e autovetores de A para obter a solução geral.

Passo 2

Primeiro montamos a matriz de coeficientes
A = 0 & 1 -2 & 3
e calculamos o polinômio característico det(A-lambda I).
det(A-lambda I) =det!-lambda & 1 -2 & 3-lambda =lambda^2-3lambda+2

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico lambda^2-3lambda+2=0 obtemos as raízes
lambda1=1, lambda2=2

Passo 4

Para lambda1=1 resolvemos (A-I)v=0:
-1 & 1 -2 & 2 v1 v2 =0 Longrightarrow -v1+v2=0 ;Rightarrow;v2=v1
Escolhemos o autovetor
v^(1)=1 1

Passo 5

Para lambda2=2 resolvemos (A-2I)v=0:
-2 & 1 -2 & 1 v1 v2 =0 Longrightarrow -2v1+v2=0 ;Rightarrow;v2=2v1
Escolhemos o autovetor
v^(2)=1 2

Passo 6

Como os autovalores são reais e distintos, a solução geral é combinação linear de e^lambda tv:
x(t) = C1,e^lambda1t,v^(1) + C2,e^lambda2t,v^(2) = C1,e^t1 1 + C2,e^2t1 2
Em componentes:
x1(t)=C1e^t+C2e^2t, x2(t)=C1e^t+2,C2e^2t

Resposta

x(t)=C1e^t1 1 + C2e^2t1 2,
ou equivalentemente
x1(t)=C1e^t+C2e^2t, x2(t)=C1e^t+2C2e^2t

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