Exercício 21. (Apostol seção 2.20 exercícios 1 a 8) Ache as soluções (se existirem dos seguintes sistemas)
l3 x+2 y+1 z=1 5 x+3 y+3 z=2 7 x+4 y+5 z=3 1 x+1 y-1 z=0

Passo 1

O enunciado pede para achar as soluções do sistema linear com quatro equações e três incógnitas:
3x + 2y + z = 1, 5x + 3y + 3z = 2, 7x + 4y + 5z = 3, x + y - z = 0
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss para determinar consistência e expressar as incógnitas em função de paramêtro(s).

Passo 2

Vamos usar a equação x+y-z=0 como pivô para eliminar x das outras. Primeiro escrevemos a mesma como
x + y - z = 0
Agora, subtraímos múltiplos apropriados dessa equação das demais:
  • Da segunda: (3x+2y+z)-3,(x+y-z)=1-3cdot0.
  • Da terceira: (5x+3y+3z)-5,(x+y-z)=2-5cdot0.
  • Da quarta: (7x+4y+5z)-7,(x+y-z)=3-7cdot0.

Passo 3

Calculando cada subtração obtemos em todos os três casos a mesma equação:
-y + 4z = 1
Logo, das quatro equações originais restam apenas duas independentes:
x + y - z = 0, -y + 4z = 1

Passo 4

Da segunda equação temos
y = 4z - 1
Substituindo em x+y-z=0
x + (4z-1) - z = 0 Longrightarrow x = 1 - 3z

Passo 5

Como sobra uma variável livre z, introduzimos o parâmetro t = z. Assim,
x = 1 - 3t, y = 4t - 1, z = t,
com tinR.

Resposta

(x,y,z) = (1-3t,,4t-1,,t), tinR

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