Exercício 21. (Apostol seção 2.20 exercícios 1 a 8) Ache as soluções (se existirem dos seguintes sistemas)
Passo 1
O enunciado pede para achar as soluções do sistema linear com quatro equações e três incógnitas:
O conteúdo aqui é eliminação de Gauss para determinar consistência e expressar as incógnitas em função de paramêtro(s).
Passo 2
Vamos usar a equação
x+y-z=0 como pivô para eliminar
x das outras. Primeiro escrevemos a mesma como
Agora, subtraímos múltiplos apropriados dessa equação das demais:
- Da segunda:
.(3x+2y+z)-3,(x+y-z)=1-3cdot0 - Da terceira:
.(5x+3y+3z)-5,(x+y-z)=2-5cdot0 - Da quarta:
.(7x+4y+5z)-7,(x+y-z)=3-7cdot0
Passo 3
Calculando cada subtração obtemos em todos os três casos a mesma equação:
Logo, das quatro equações originais restam apenas duas independentes:
Passo 4
Da segunda equação temos
Substituindo em
x+y-z=0 dá
Passo 5
Como sobra uma variável livre
z , introduzimos o parâmetro
t = z . Assim,
com
tinR .