Exercício 21. (Apostol seção 2.20 exercícios 1 a 8) Ache as soluções (se existirem dos seguintes sistemas)
l3 x-2 y+5 z+1 u=1 1 x+1 y-3 z+2 u=2 6 x+1 y-4 z+3 u=7

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de três equações e quatro incógnitas
3x - 2y +5z + u = 1, x + y -3z +2u = 2, 6x + y -4z +3u = 7,
usando eliminação de Gauss e encontrando, se existirem, todas as soluções. Vamos precisar reconhecer que, tendo mais incógnitas do que equações, haverá variáveis livres e o sistema pode ter infinitas soluções.

Passo 2

Da segunda equação isole x em função de y,z,u:
x + y -3z +2u = 2 Longrightarrow x = 2 - y +3z -2u

Passo 3

Substitua essa expressão de x na primeira equação:
3(2 - y +3z -2u) ;-;2y;+;5z;+;u = 1
Desenvolvendo,
6 -3y +9z -6u -2y +5z +u = 1 ;Longrightarrow; -5y +14z -5u = -5
Multiplicando por -1,
5y -14z +5u = 5 tagA

Passo 4

Agora substitua x = 2 - y +3z -2u na terceira equação:
6(2 - y +3z -2u) + y -4z +3u = 7
Isso dá
12 -6y +18z -12u + y -4z +3u = 7 ;Longrightarrow; -5y +14z -9u = -5
Multiplicando por -1,
5y -14z +9u = 5 tagB

Passo 5

Compare as equações (A) e (B):
5y -14z +5u = 5, 5y -14z +9u = 5
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
(5y-14z+9u) - (5y-14z+5u) = 5-5 Longrightarrow 4u = 0 ;Longrightarrow; u = 0

Passo 6

Com u=0, use a equação (A) para achar y:
5y -14z +5cdot0 = 5 Longrightarrow 5y = 5 +14z Longrightarrow y = 1 + 145z

Passo 7

Finalmente, volte à expressão de x do passo 2 e substitua y e u:
x = 2 - y +3z -2u = 2 -l(1 + 145zr) +3z -2cdot0 = 1 + l(3 - tfrac145r)z = 1 + 15z

Passo 8

Como sobra a variável
Opcionalmente, para eliminar frações, podemos reparametrizar deixando (t = 5s], mas não é necessário.

Resposta

A solução geral é
(x,y,z,u) = l(1 + tfrac15t,;1 + tfrac145t,;t,;0r), tinR

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