9-4C For a three-dimensional, unsteady, incompressible flow field in which temperature variations are insignificant, how many unknowns are there? List the equations required to solve for these unknowns.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Determinar quantos incógnitas existem para um escoamento tridimensional, não estacionário, incompressível, em que variações de temperatura são desprezíveis.
  • Listar as equações necessárias para resolver essas incógnitas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Espaço tridimensional (coordenadas x,y,z).
  • Escoamento não estacionário (dependência do tempo t).
  • Incompressível (densidade constante, sem variação volumétrica local).
  • Variações de temperatura insignificantes (logo não há necessidade de equacionar energia/temperatura nem acoplamento termossensível).

Passo 2

Identificar claramente as incógnitas que representam o estado do escoamento. Num escoamento fluido usualmente precisamos conhecer:
  • A velocidade em cada ponto e instante. Em 3D isso consiste nas três componentes da velocidade:
    \mathbf{u}=(u,v,w), onde
    • \,u(x,y,z,t) é a componente da velocidade na direção x,
    • \,v(x,y,z,t) é a componente da velocidade na direção y,
    • \,w(x,y,z,t) é a componente da velocidade na direção z.
  • A pressão do fluido em cada ponto e instante:
    \,p(x,y,z,t).
Como a densidade é constante e as variações de temperatura são desprezíveis, a temperatura não é uma incógnita relevante aqui. Portanto as incógnitas são exatamente as componentes de velocidade e a pressão.

Passo 3

Contar as incógnitas: são quatro campos escalares a determinar:
\text{incógnitas: } u,\; v,\; w,\; p \quad\Rightarrow\quad \text{total }=4.ó
Explicação intuitiva: a velocidade tem três componentes (três incógnitas) e a pressão é uma incógnita adicional necessária porque aparece nos termos de força do movimento — embora não exista uma “equação da pressão” independente, a pressão é determinada pelo acoplamento entre continuidade e as equações de momento.

Passo 4

Listar a equação de conservação de massa (continuidade) apropriada para escoamento incompressível e explicar seu significado.
Para um fluido incompressível a equação da continuidade é a condição de divergência nula da velocidade:
\nabla\cdot\mathbf{u}=0.
Em forma de componentes essa condição fica
\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0.
Significado didático: essa equação expressa conservação de massa local para densidade constante — o volume de um pequeno elemento de fluido não varia ao longo do tempo, logo o campo de velocidade é solenoidal (sem fonte nem sumidouro local).

Passo 5

Listar as equações de conservação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) para um fluido newtoniano, não compressível, tridimensional e não estacionário. Apresentar e explicar cada termo.
Forma vetorial das equações de momento:
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} =-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^{2}\mathbf{u}+\mathbf{f},
onde
  • \,\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} é a aceleração local (variação temporal da velocidade no ponto),
  • \,(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} é a aceleração convectiva (transporte não linear da velocidade pelo próprio campo de velocidade),
  • \,-\frac{1}{\rho}\nabla p é a força por gradiente de pressão por unidade de massa ( \rho = densidade constante),
  • \,\nu\nabla^{2}\mathbf{u} é o termo viscoso (com \nu=\dfrac{\mu}{\rho} a viscosidade cinemática; \mu = viscosidade dinâmica),
  • \,\mathbf{f} representa forças de corpo por unidade de massa (ex.: \mathbf{f}=(0,0,-g) para gravidade se usada).
Em componentes (três equações, uma para cada componente u,v,w) as equações ficam, por exemplo para a componente u:
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z} =-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}\right)+f_x,
e analogamente para v e w substituindo as componentes apropriadas.
Didaticamente: são três equações PDE acopladas não-lineares (de segunda ordem espacial) que governam como a velocidade evolui devido a inércia, pressão, viscosidade e forças externas.

Passo 6

Relacionar o número de equações com o número de incógnitas e comentar sobre condições iniciais/contorno necessárias para solução.
Temos:
  • Uma equação de continuidade ( \nabla\cdot\mathbf{u}=0).
  • Três equações de momento (componentes de Navier–Stokes).
    Total de equações primárias = 1+3=4, exatamente o número de incógnitas u,v,w,p. Portanto o sistema é fechado (em teoria), ou seja, as quatro equações determinam as quatro incógnitas quando combinadas com condições iniciais e de contorno apropriadas.
Observações práticas importantes para a resolução:
  • Como as equações são diferenciais, é preciso fornecer condições iniciais: por exemplo \mathbf{u}(x,y,z,0).
  • É preciso fornecer condições de contorno (ex.: velocidade prescrita em paredes, condição de não deslizamento, condições de entrada/saída, e uma referência de pressão ou condição natural para pressionar o campo).
  • Em soluções numéricas/analíticas costuma-se também fixar uma referência de pressão (pois só gradiente de p aparece nas equações).

Passo 7

Resumo das equações escritas explicitamente (colocadas para consulta rápida):
Continuidade:
\nabla\cdot\mathbf{u}=0.
Navier–Stokes (vetorial):
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} =-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^{2}\mathbf{u}+\mathbf{f}.
Ou em componentes (exemplo da componente u):
\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z} =-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x}+\nu\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}}\right)+f_x,
e duas equações análogas para v e w.

Resposta

Quatro incógnitas: \,u(x,y,z,t),\;v(x,y,z,t),\;w(x,y,z,t),\;p(x,y,z,t).\n
Equações: continuidade \nabla\cdot\mathbf{u}=0 e as três equações de momento (componentes das equações de Navier–Stokes) \displaystyle \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^{2}\mathbf{u}+\mathbf{f}.

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