9-4C For a three-dimensional, unsteady, incompressible flow field in which temperature variations are insignificant, how many unknowns are there? List the equations required to solve for these unknowns.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Determinar quantos incógnitas existem para um escoamento tridimensional, não estacionário, incompressível, em que variações de temperatura são desprezíveis.
- Listar as equações necessárias para resolver essas incógnitas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Espaço tridimensional (coordenadas
). - Escoamento não estacionário (dependência do tempo
). - Incompressível (densidade constante, sem variação volumétrica local).
- Variações de temperatura insignificantes (logo não há necessidade de equacionar energia/temperatura nem acoplamento termossensível).
Passo 2
Identificar claramente as incógnitas que representam o estado do escoamento. Num escoamento fluido usualmente precisamos conhecer:
- A velocidade em cada ponto e instante. Em 3D isso consiste nas três componentes da velocidade:
, onde -
é a componente da velocidade na direção , -
é a componente da velocidade na direção , -
é a componente da velocidade na direção .
-
- A pressão do fluido em cada ponto e instante:
.
Como a densidade é constante e as variações de temperatura são desprezíveis, a temperatura não é uma incógnita relevante aqui. Portanto as incógnitas são exatamente as componentes de velocidade e a pressão.
Passo 3
Contar as incógnitas: são quatro campos escalares a determinar:
Explicação intuitiva: a velocidade tem três componentes (três incógnitas) e a pressão é uma incógnita adicional necessária porque aparece nos termos de força do movimento — embora não exista uma “equação da pressão” independente, a pressão é determinada pelo acoplamento entre continuidade e as equações de momento.
Passo 4
Listar a equação de conservação de massa (continuidade) apropriada para escoamento incompressível e explicar seu significado.
Para um fluido incompressível a equação da continuidade é a condição de divergência nula da velocidade:
Em forma de componentes essa condição fica
Significado didático: essa equação expressa conservação de massa local para densidade constante — o volume de um pequeno elemento de fluido não varia ao longo do tempo, logo o campo de velocidade é solenoidal (sem fonte nem sumidouro local).
Passo 5
Listar as equações de conservação de quantidade de movimento (Navier–Stokes) para um fluido newtoniano, não compressível, tridimensional e não estacionário. Apresentar e explicar cada termo.
Forma vetorial das equações de momento:
onde
-
é a aceleração local (variação temporal da velocidade no ponto), -
é a aceleração convectiva (transporte não linear da velocidade pelo próprio campo de velocidade), -
é a força por gradiente de pressão por unidade de massa ( = densidade constante), -
é o termo viscoso (com a viscosidade cinemática; = viscosidade dinâmica), -
representa forças de corpo por unidade de massa (ex.: para gravidade se usada).
Em componentes (três equações, uma para cada componente
) as equações ficam, por exemplo para a componente
:
e analogamente para
e
substituindo as componentes apropriadas.
Didaticamente: são três equações PDE acopladas não-lineares (de segunda ordem espacial) que governam como a velocidade evolui devido a inércia, pressão, viscosidade e forças externas.
Passo 6
Relacionar o número de equações com o número de incógnitas e comentar sobre condições iniciais/contorno necessárias para solução.
Temos:
- Uma equação de continuidade (
). - Três equações de momento (componentes de Navier–Stokes).
Total de equações primárias =, exatamente o número de incógnitas . Portanto o sistema é fechado (em teoria), ou seja, as quatro equações determinam as quatro incógnitas quando combinadas com condições iniciais e de contorno apropriadas.
Observações práticas importantes para a resolução:
- Como as equações são diferenciais, é preciso fornecer condições iniciais: por exemplo
. - É preciso fornecer condições de contorno (ex.: velocidade prescrita em paredes, condição de não deslizamento, condições de entrada/saída, e uma referência de pressão ou condição natural para pressionar o campo).
- Em soluções numéricas/analíticas costuma-se também fixar uma referência de pressão (pois só gradiente de
aparece nas equações).
Passo 7
Resumo das equações escritas explicitamente (colocadas para consulta rápida):
Continuidade:
Navier–Stokes (vetorial):
Ou em componentes (exemplo da componente
):
e duas equações análogas para
e
.
Resposta
Quatro incógnitas:
.\n
Equações: continuidade e as três equações de momento (componentes das equações de Navier–Stokes)
.
Equações: continuidade