9-5C For an unsteady, compressible flow field that is two-dimensional in the
-plane and in which temperature and density variations are significant, how many unknowns are there? List the equations required to solve for these unknowns. (Note: Assume other flow properties like viscosity, thermal conductivity, etc., can be treated as constants.)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Determinar quantos incógnitas escalares são necessárias para descrever o campo de escoamento dado.
- Listar as equações necessárias para resolver essas incógnitas.
Informações fornecidas pelo enunciado (que vou usar depois):
- Escoamento não estacionário (dependência temporal).
- Compressível (variações de densidade importantes).
- Bidimensional no plano
(duas componentes de velocidade). - Variações de temperatura também são importantes.
- Propriedades como viscosidade e condutividade térmica podem ser tratadas como constantes.
- Não foi dada nenhuma composição química extra (um único fluido).
Passo 2
Identificar quais campos físicos variam espacialmente e temporalmente e que, portanto, são incógnitas do problema.
Em termos “primitivos” (os campos que normalmente queremos obter) aparecem:
- a densidade
; - as duas componentes de velocidade
e ; - a temperatura
(porque o enunciado diz que variações de temperatura são significativas).
Observação: a pressão
aparece nas equações de momento, mas para um gás compressível tipicamente
não é uma incógnita independente se houver uma equação de estado (por exemplo
). Alternativamente pode-se usar a energia total por unidade de massa
em vez de
; o número de incógnitas fica o mesmo. Portanto, o número de incógnitas escalares essenciais é quatro.
Passo 3
Escrever a equação de conservação de massa (continuidade) na forma conservativa — esta é uma das equações fundamentais que usamos:
Explicação curta (didática): esta equação diz que a taxa de variação temporal da massa num volume de controle mais o fluxo de massa através das faces tem que ser zero — é a conservação da massa.
Passo 4
Escrever as equações de momento (Navier–Stokes compressível) nas direções
e
. Forma conservativa, incluindo tensões viscosas e forças de corpo (se existirem):
Equação de momento em
:
Equação de momento em
:
Explicação curta: os termos do lado esquerdo representam transporte de quantidade de movimento (aceleração local + convectiva). No lado direito aparecem força por gradiente de pressão, contribuição de tensões viscosas e forças de corpo
(por exemplo gravidade, que pode ser nula).
Passo 5
Dar as expressões constitutivas para as tensões viscosas num fluido newtoniano 2D (necessárias para “fechar” as equações de momento). Para um fluido newtoniano com viscosidade dinâmica
constante e usando a hipótese de Stokes para a parte volumétrica, temos:
Aqui
é a segunda viscosidade; a hipótese de Stokes normalmente toma
. Essas fórmulas transformam as tensões em derivadas de
e
, fornecendo fechamento.
Passo 6
Escrever a equação de energia. A forma conservativa em termos da energia total por unidade de massa
(
, com
energia interna) é a escolha mais geral:
Explicação curta: o lado esquerdo é o transporte convectivo da energia total mais trabalho de pressão; o lado direito contém transporte por tensões viscosas e por condução de calor (vetor de calor
) e trabalho de forças de corpo. Para fechar a energia é preciso uma lei para
e uma relação entre
e
.
Passo 7
Fornecer a lei de condução de calor e a relação energia–temperatura (fechamento térmico). Para condutividade térmica constante
usamos a lei de Fourier:
E ligar energia interna e temperatura via capacidade calorífica a volume constante:
onde
é a capacidade calorífica a volume constante (constante segundo o enunciado).
Também é útil a relação entre
,
e a constante dos gases
:
Passo 8
Fornecer a equação de estado que fecha a relação pressão–densidade–temperatura. Para um gás ideal (pressuposto habitual quando se diz que densidade e temperatura variam significativamente):
onde
é a constante específica do gás. Essa equação permite eliminar
como incógnita independente se estamos resolvendo para
e
.
Passo 9
Recapitular o fechamento do sistema e contagem final das incógnitas:
-
Incógnitas escalares essenciais:
, , , . Total: quatro incógnitas. -
Equações primárias para resolver essas incógnitas:
- Continuidade (conservação da massa).
- Momento em
(Navier–Stokes -component). - Momento em
(Navier–Stokes -component). - Energia (conservação da energia total ou equação de energia interna/temperatura).
-
Relações auxiliares necessárias para fechamento (não são equações dinâmicas adicionais independentes no sentido de acrescentar incógnitas, mas são essenciais):
- Equação de estado
. - Relações constitutivas viscosas (formas de
, com e ). - Lei de Fourier para
. - Relações termodinâmicas
, .
- Equação de estado
Com esse conjunto (4 PDEs principais + equação de estado + leis constitutivas) o problema fica fechado para as quatro incógnitas.
Resposta
Número de incógnitas: quatro —
,
,
e
.
Equações necessárias:
- Continuidade:
- Momento em
:
- Momento em
:
- Energia (forma conservativa, energia total
):
Fechamento com as relações constitutivas e termodinâmicas:
e tensões viscosas para fluido newtoniano (por exemplo com
).