9-5C For an unsteady, compressible flow field that is two-dimensional in the x y-plane and in which temperature and density variations are significant, how many unknowns are there? List the equations required to solve for these unknowns. (Note: Assume other flow properties like viscosity, thermal conductivity, etc., can be treated as constants.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar quantos incógnitas escalares são necessárias para descrever o campo de escoamento dado.
  • Listar as equações necessárias para resolver essas incógnitas.
Informações fornecidas pelo enunciado (que vou usar depois):
  • Escoamento não estacionário (dependência temporal).
  • Compressível (variações de densidade importantes).
  • Bidimensional no plano x y (duas componentes de velocidade).
  • Variações de temperatura também são importantes.
  • Propriedades como viscosidade e condutividade térmica podem ser tratadas como constantes.
  • Não foi dada nenhuma composição química extra (um único fluido).

Passo 2

Identificar quais campos físicos variam espacialmente e temporalmente e que, portanto, são incógnitas do problema.
Em termos “primitivos” (os campos que normalmente queremos obter) aparecem:
  • a densidade \rho(x,y,t);
  • as duas componentes de velocidade u(x,y,t) e v(x,y,t);
  • a temperatura T(x,y,t) (porque o enunciado diz que variações de temperatura são significativas).
Observação: a pressão p aparece nas equações de momento, mas para um gás compressível tipicamente p não é uma incógnita independente se houver uma equação de estado (por exemplo p=\rho R T). Alternativamente pode-se usar a energia total por unidade de massa E em vez de T; o número de incógnitas fica o mesmo. Portanto, o número de incógnitas escalares essenciais é quatro.

Passo 3

Escrever a equação de conservação de massa (continuidade) na forma conservativa — esta é uma das equações fundamentais que usamos:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}=0
Explicação curta (didática): esta equação diz que a taxa de variação temporal da massa num volume de controle mais o fluxo de massa através das faces tem que ser zero — é a conservação da massa.

Passo 4

Escrever as equações de momento (Navier–Stokes compressível) nas direções x e y. Forma conservativa, incluindo tensões viscosas e forças de corpo (se existirem):
Equação de momento em x:
\frac{\partial (\rho u)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u^2)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho u v)}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \rho f_x
Equação de momento em y:
\frac{\partial (\rho v)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u v)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v^2)}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} + \rho f_y
Explicação curta: os termos do lado esquerdo representam transporte de quantidade de movimento (aceleração local + convectiva). No lado direito aparecem força por gradiente de pressão, contribuição de tensões viscosas e forças de corpo \rho \vec f (por exemplo gravidade, que pode ser nula).

Passo 5

Dar as expressões constitutivas para as tensões viscosas num fluido newtoniano 2D (necessárias para “fechar” as equações de momento). Para um fluido newtoniano com viscosidade dinâmica \mu constante e usando a hipótese de Stokes para a parte volumétrica, temos:
\tau_{xx} = 2\mu \frac{\partial u}{\partial x} + \lambda\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)
\tau_{yy} = 2\mu \frac{\partial v}{\partial y} + \lambda\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)
\tau_{xy}=\tau_{yx}=\mu\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)
Aqui \lambda é a segunda viscosidade; a hipótese de Stokes normalmente toma \lambda = -\tfrac{2}{3}\mu. Essas fórmulas transformam as tensões em derivadas de u e v, fornecendo fechamento.

Passo 6

Escrever a equação de energia. A forma conservativa em termos da energia total por unidade de massa E ( E = e + \tfrac{1}{2}(u^2+v^2), com e energia interna) é a escolha mais geral:
\frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \frac{\partial \left[(\rho E + p)u\right]}{\partial x} + \frac{\partial \left[(\rho E + p)v\right]}{\partial y} = \frac{\partial (u\tau_{xx}+v\tau_{yx}-q_x)}{\partial x} + \frac{\partial (u\tau_{xy}+v\tau_{yy}-q_y)}{\partial y} + \rho \vec f\cdot\vec u
Explicação curta: o lado esquerdo é o transporte convectivo da energia total mais trabalho de pressão; o lado direito contém transporte por tensões viscosas e por condução de calor (vetor de calor \vec q) e trabalho de forças de corpo. Para fechar a energia é preciso uma lei para \vec q e uma relação entre e e T.

Passo 7

Fornecer a lei de condução de calor e a relação energia–temperatura (fechamento térmico). Para condutividade térmica constante k usamos a lei de Fourier:
\vec q = -k \nabla T \quad\text{ou em componentes}\quad q_x = -k\frac{\partial T}{\partial x},\quad q_y = -k\frac{\partial T}{\partial y}.
E ligar energia interna e temperatura via capacidade calorífica a volume constante:
e = c_v T,
onde c_v é a capacidade calorífica a volume constante (constante segundo o enunciado).
Também é útil a relação entre c_p, c_v e a constante dos gases R:
c_p - c_v = R.

Passo 8

Fornecer a equação de estado que fecha a relação pressão–densidade–temperatura. Para um gás ideal (pressuposto habitual quando se diz que densidade e temperatura variam significativamente):
p = \rho R T,
onde R é a constante específica do gás. Essa equação permite eliminar p como incógnita independente se estamos resolvendo para \rho e T.

Passo 9

Recapitular o fechamento do sistema e contagem final das incógnitas:
  • Incógnitas escalares essenciais: \rho(x,y,t), u(x,y,t), v(x,y,t), T(x,y,t). Total: quatro incógnitas.
  • Equações primárias para resolver essas incógnitas:
    1. Continuidade (conservação da massa).
    2. Momento em x (Navier–Stokes x-component).
    3. Momento em y (Navier–Stokes y-component).
    4. Energia (conservação da energia total ou equação de energia interna/temperatura).
  • Relações auxiliares necessárias para fechamento (não são equações dinâmicas adicionais independentes no sentido de acrescentar incógnitas, mas são essenciais):
    • Equação de estado p=\rho R T.
    • Relações constitutivas viscosas (formas de \tau_{ij}, com \mu e \lambda).
    • Lei de Fourier para \vec q.
    • Relações termodinâmicas e=c_v T, c_p-c_v=R.
Com esse conjunto (4 PDEs principais + equação de estado + leis constitutivas) o problema fica fechado para as quatro incógnitas.

Resposta

Número de incógnitas: quatro — \rho(x,y,t), u(x,y,t), v(x,y,t) e T(x,y,t).
Equações necessárias:
  • Continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v)}{\partial y}=0
  • Momento em x:
\frac{\partial (\rho u)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u^2)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho u v)}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + \rho f_x
  • Momento em y:
\frac{\partial (\rho v)}{\partial t} + \frac{\partial (\rho u v)}{\partial x} + \frac{\partial (\rho v^2)}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yy}}{\partial y} + \rho f_y
  • Energia (forma conservativa, energia total E):
\frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \frac{\partial \left[(\rho E + p)u\right]}{\partial x} + \frac{\partial \left[(\rho E + p)v\right]}{\partial y} = \frac{\partial (u\tau_{xx}+v\tau_{yx}-q_x)}{\partial x} + \frac{\partial (u\tau_{xy}+v\tau_{yy}-q_y)}{\partial y} + \rho \vec f\cdot\vec u
Fechamento com as relações constitutivas e termodinâmicas:
p=\rho R T,\quad e=c_v T,\quad \vec q=-k\nabla T,
e tensões viscosas para fluido newtoniano (por exemplo com \lambda=-\tfrac{2}{3}\mu).

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