Problema 5. Sobre o oscilador amortecido.
a) Mostre que a equação diferencial do movimento de uma massa
presa a uma mola de constante elástica
, sob a ação de uma força de atrito
, é dada por
onde
.
b) Resolva essa equação (usando variáveis complexas), assumindo uma solução da forma
, e mostre que a solução geral, quando
, é
c) Qual é a solução geral quando
?
d) Para
, a posição e a velocidade da massa
são
e
. Determine os coeficientes
e
.
a) Mostre que a equação diferencial do movimento de uma massa
b) Resolva essa equação (usando variáveis complexas), assumindo uma solução da forma
d) Para
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Uma massa
presa a uma mola de constante elástica . - Uma força de atrito proporcional à velocidade dada por
(sinal negativo indica que a força é oposta à velocidade). - Definição
. - Condições iniciais (aparecem na parte d):
e .
- Uma massa
-
O enunciado pede:a) Mostrar que a equação do movimento éb) Resolver essa equação assumindo uma solução da forma
e mostrar que, quando , a solução geral é c) Determinar a solução geral quando.
d) Usandoe , determinar os coeficientes e (presumivelmente para o caso já tratado na parte b).
Passo 2
Derivando a equação do movimento (parte a).
-
Aplicar a Segunda Lei de Newton: soma das forças é igual a
vezes a aceleração. As forças atuantes na massa são: - Força elástica da mola:
(restauradora, proporcional ao deslocamento e apontando para o equilíbrio). - Força de atrito (amortecimento):
.
- Força elástica da mola:
-
Escrevendo a equação de movimento:
- Dividindo ambos os lados por
:
- Usando
obtemos exatamente
como pedido.
Passo 3
Resolver a equação homogênea com coeficientes constantes pelo método dos expoentes (parte b início).
-
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma boa tentativa é uma solução exponencial da forma
, onde é, a princípio, complexo. -
Substituindo
em
obtemos (derivando
dá
e
):
- Como
nunca é zero, dividimos e ficamos com a equação característica:
Passo 4
Encontrar as raízes da equação característica e interpretar os casos.
- As raízes da quadrática são dadas pela fórmula de Bhaskara:
- As três situações possíveis são:
-
(duas raízes reais distintas) — caso superamortecido. -
(raízes reais iguais) — caso criticamente amortecido. -
(raízes complexas conjugadas) — caso subamortecido (oscilatório amortecido).
-
Vamos tratar separadamente o caso subamortecido (
) exigido na parte b e o caso superamortecido (
) pedido na parte c.
Passo 5
Resolver o caso subamortecido
e obter a forma com cosseno e seno (parte b completo, com didática).
- Se
, então . Escrevemos a raiz discriminante como um número imaginário:
- As raízes ficam
- Definindo
observa-se que
- Assim as raízes são
- Uma solução genérica construída com as duas exponenciais complexas é
onde
e
são constantes complexas que serão escolhidas para tornar
real. Essa forma é válida, mas em provas costuma-se apresentar a solução realmente explícita em termos de função cosseno e seno.
- Usando a identidade de Euler
, escrevemos
- Uma combinação linear adequada das duas exponenciais complexas pode ser reescrita como uma combinação real de cosseno e seno. De fato, tomando constantes
e reais, a função
é a forma real geral das soluções correspondentes às raízes complexas (os dois parâmetros reais
e
equivalem às duas constantes de integração). Portanto obtemos exatamente a forma desejada:
- Intuição física curta: a exponencial
descreve o decaimento da amplitude pela perda de energia, enquanto e descrevem a oscilação com frequência reduzida (menor que por causa do amortecimento).
Passo 6
Resolver o caso superamortecido
(parte c).
- Se
, então e as raízes e são reais e distintas:
- A solução geral é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes reais (ou complexas conjugadas se desejar, mas para dados reais tomam-se reais). Ambas as exponenciais decaem no tempo porque
e
(já que
é negativo e o termo com a raiz não compensa para tornar positivo).
- Observação breve (fora do pedido): no caso crítico
tem-se raiz dupla e a solução geral é
Passo 7
Determinar
e
a partir das condições iniciais (parte d), assumindo
e portanto usando a forma oscilatória amortecida).
- Temos a solução (relembrando):
- Primeiro apliquei a condição
: - Avaliando em
: . - Logo
- Avaliando em
- Agora uso a condição sobre a velocidade
. Primeiro calculo aplicando a regra do produto (derivada de vezes o parêntese mais vezes derivada do parêntese):
-
Calculando as derivadas separadamente:
-
-
Juntando,
- Avaliando em
(onde , , ):
- Igualando a
obtemos
- Como já sabemos que
, resolvemos para :
portanto
Resposta
a)
b)
c)
d)