9-6C For a three-dimensional, unsteady, compressible flow field in which temperature and density variations are significant, how many unknowns are there? List the equations required to solve for these unknowns. (Note: Assume other flow properties like viscosity and thermal conductivity can be treated as constants.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) quantas incógnitas existem para um campo de escoamento tridimensional, não estacionário e compressível, no qual variações de temperatura e densidade são significativas; (2) listar quais equações são necessárias para determinar essas incógnitas. Informações dadas que vou usar (sem perguntar nada extra): o escoamento é tridimensional e não estacionário, é compressível (portanto \rho varia no espaço e no tempo) e as variações de temperatura T importam; viscosidade e condutividade térmica podem ser tratadas como constantes. Nada mais foi fornecido (por exemplo: número de espécies, reações químicas ou campos adicionais), então considero um fluido simples (uma única espécie).

Passo 2

O que significa “incógnitas” aqui? Significa os campos escalares vetoriais e escalares que precisam ser conhecidos em cada ponto do domínio e em cada instante. Vou listar as quantidades físicas que tipicamente aparecem nas equações de conservação para um fluido compressível clássico:
  • \rho(\mathbf{x},t): densidade (campo escalar).
  • \mathbf{u}(\mathbf{x},t) = (u,v,w): velocidade (campo vetorial com três componentes escalares).
  • Uma variável térmica/energética que represente o estado térmico do fluido — pode ser a temperatura T(\mathbf{x},t), a energia interna e(\mathbf{x},t) ou a energia total por unidade massa E(\mathbf{x},t). Pressão p(\mathbf{x},t) também aparece nas equações, mas normalmente é relacionada a \rho e T por uma equação de estado (por exemplo a lei dos gases ideais).

Passo 3

Contagem final das incógnitas:
  • \rho → 1 incógnita escalar,
  • u,v,w → 3 incógnitas escalares,
  • variável térmica/energética (por exemplo T ou E) → 1 incógnita escalar.
Total: 5 incógnitas escalares. Vou explicar por que não contamos p como uma incógnita independente: a pressão é obtida pelo fechamento termodinâmico (equação de estado) a partir das outras variáveis (ex.: p=\rho R T para gás ideal), portanto as variáveis primárias podem ser tomadas como 5.

Passo 4

Agora vou escrever e explicar cada equação necessária para determinar essas incógnitas. Primeiro, a equação de conservação de massa (continuidade). Ela diz que a massa não é criada nem destruída:
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{u}) = 0.
Explicação passo a passo da notação e dos termos:
  • \rho(\mathbf{x},t) é a densidade local.
  • \mathbf{u}(\mathbf{x},t) é o vetor velocidade.
  • \nabla\cdot(\rho\mathbf{u}) é a divergência do fluxo de massa; essa equação é uma equação escalar (uma equação para a incógnita \rho).

Passo 5

Em seguida, as equações de conservação de quantidade de movimento (três componentes do balanço de momento, uma para cada componente da velocidade). Em forma vetorial compacta (Navier–Stokes compressível com forças de corpo \rho\mathbf{g}):
\frac{\partial (\rho \mathbf{u})}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho \mathbf{u}\mathbf{u}) = -\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{g}.
Explicação dos termos:
  • \rho\mathbf{u} é a densidade de quantidade de movimento.
  • \nabla\cdot(\rho \mathbf{u}\mathbf{u}) representa o transporte convectivo do momento (observe que isso é um tensor que resulta em um vetor).
  • -\nabla p é a força por gradiente de pressão.
  • \boldsymbol{\tau} é o tensor de tensões viscosas (contém as contribuições da viscosidade); a expressão de \boldsymbol{\tau} será dada adiante.
  • \rho\mathbf{g} é a força de corpo (ex.: gravidade). Cada componente desta equação fornece uma equação escalar para u, v e w.

Passo 6

A equação de conservação de energia. É comum usar a equação para a energia total por unidade de massa E, que combina energia interna e e energia cinética:
E = e + \tfrac{1}{2}|\mathbf{u}|^2.
A forma conservativa da equação de energia (por unidade de volume, para o sistema compressível) é
\frac{\partial (\rho E)}{\partial t} + \nabla\cdot\big(\mathbf{u}(\rho E + p)\big) = \nabla\cdot(\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{u}) - \nabla\cdot\mathbf{q} + \rho \mathbf{u}\cdot\mathbf{g}.
Explicação dos termos:
  • \rho E é a densidade de energia total.
  • \mathbf{u}(\rho E + p) é o fluxo convectivo de energia mais o trabalho de pressão.
  • \nabla\cdot(\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{u}) representa a transferência de energia por tensões viscosas (viscous dissipation/working).
  • \mathbf{q} é o vetor fluxo de calor (sai com sinal negativo porque -\nabla\cdot\mathbf{q} é a contribuição para o balanço de energia).
  • \rho\mathbf{u}\cdot\mathbf{g} é a potência das forças de corpo.

Passo 7

Precisamos agora das relações que fecham o sistema: equação de estado e leis constitutivas (porque p, e, \boldsymbol{\tau} e \mathbf{q} aparecem nas equações acima).
  • Equação de estado (ex.: gás ideal monoespécie):
p = \rho R T,
onde R é a constante do gás por unidade de massa e T é a temperatura. Alternativamente pode ser usada a relação entre energia interna e temperatura:
e = c_v T,
onde c_v é a capacidade calorífica a volume constante por unidade de massa. Assim E = c_v T + \tfrac{1}{2}|\mathbf{u}|^2.
  • Lei de Newton para fluido newtoniano (tensor de tensões viscosas, adotando a hipótese de Stokes para o termo dilatacional):
\tau_{ij} = \mu\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right) - \tfrac{2}{3}\mu (\nabla\cdot\mathbf{u})\,\delta_{ij},
onde \mu é a viscosidade dinâmica (constante segundo o enunciado), \delta_{ij} é o delta de Kronecker, e i,j\in\{1,2,3\}.
  • Lei de Fourier para fluxo de calor:
\mathbf{q} = -k \nabla T,
onde k é a condutividade térmica (tratada como constante pelo enunciado).

Passo 8

Fechamento do sistema e contagem de equações versus incógnitas:
  • As equações de conservação fornecem exatamente 5 equações escalares: 1 (continuidade) + 3 (momentum) + 1 (energia) = 5.
  • As incógnitas primárias também são 5 (por exemplo \rho, u, v, w, E ou \rho, u, v, w, T).
  • A equação de estado e as leis constitutivas não aumentam o número de incógnitas; elas fornecem expressões para p, e, \boldsymbol{\tau} e \mathbf{q} em termos das 5 incógnitas primárias. Assim o sistema fica fechado e determinístico (assumindo condições de contorno e iniciais apropriadas).

Passo 9

Observações práticas úteis para prova/cálculo (jeito rápido de lembrar):
  • Se escolher as variáveis primárias (\rho, \mathbf{u}, T) tem 5 incógnitas e usa-se continuidade, momento (3 eqs) e energia; p vem da equação de estado p=\rho R T.
  • Se escolher (\rho, \mathbf{u}, E) também tem 5 incógnitas; aí a relação p=(\gamma-1)\rho\left(E-\tfrac{1}{2}|\mathbf{u}|^2\right) (válida para gás perfeito com razão de calores \gamma) é a forma prática de trazer p para as equações.
  • As leis constitutivas (expressões de \boldsymbol{\tau} e \mathbf{q}) são necessárias sempre que houver viscosidade e condução de calor — mesmo com \mu e k constantes.

Resposta

5\n
Equações: continuidade ( \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0), três equações de momento (Navier–Stokes compressível: \frac{\partial(\rho\mathbf{u})}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u}\mathbf{u})=-\nabla p+\nabla\cdot\boldsymbol{\tau}+\rho\mathbf{g}), equação de energia ( \frac{\partial(\rho E)}{\partial t}+\nabla\cdot(\mathbf{u}(\rho E+p))=\nabla\cdot(\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{u})-\nabla\cdot\mathbf{q}+\rho\mathbf{u}\cdot\mathbf{g}), mais a equação de estado (por exemplo p=\rho R T para gás ideal) e as leis constitutivas \tau_{ij}=\mu(\partial_j u_i+\partial_i u_j)-\tfrac{2}{3}\mu(\nabla\cdot\mathbf{u})\delta_{ij} e \mathbf{q}=-k\nabla T.

Exercícios relacionados