9-6C For a three-dimensional, unsteady, compressible flow field in which temperature and density variations are significant, how many unknowns are there? List the equations required to solve for these unknowns. (Note: Assume other flow properties like viscosity and thermal conductivity can be treated as constants.)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) quantas incógnitas existem para um campo de escoamento tridimensional, não estacionário e compressível, no qual variações de temperatura e densidade são significativas; (2) listar quais equações são necessárias para determinar essas incógnitas. Informações dadas que vou usar (sem perguntar nada extra): o escoamento é tridimensional e não estacionário, é compressível (portanto
varia no espaço e no tempo) e as variações de temperatura
importam; viscosidade e condutividade térmica podem ser tratadas como constantes. Nada mais foi fornecido (por exemplo: número de espécies, reações químicas ou campos adicionais), então considero um fluido simples (uma única espécie).
Passo 2
O que significa “incógnitas” aqui? Significa os campos escalares vetoriais e escalares que precisam ser conhecidos em cada ponto do domínio e em cada instante. Vou listar as quantidades físicas que tipicamente aparecem nas equações de conservação para um fluido compressível clássico:
-
: densidade (campo escalar). -
: velocidade (campo vetorial com três componentes escalares). - Uma variável térmica/energética que represente o estado térmico do fluido — pode ser a temperatura
, a energia interna ou a energia total por unidade massa . Pressão também aparece nas equações, mas normalmente é relacionada a e por uma equação de estado (por exemplo a lei dos gases ideais).
Passo 3
Contagem final das incógnitas:
-
→ 1 incógnita escalar, -
→ 3 incógnitas escalares, - variável térmica/energética (por exemplo
ou ) → 1 incógnita escalar.
Total: 5 incógnitas escalares. Vou explicar por que não contamos
como uma incógnita independente: a pressão é obtida pelo fechamento termodinâmico (equação de estado) a partir das outras variáveis (ex.:
para gás ideal), portanto as variáveis primárias podem ser tomadas como 5.
Passo 4
Agora vou escrever e explicar cada equação necessária para determinar essas incógnitas. Primeiro, a equação de conservação de massa (continuidade). Ela diz que a massa não é criada nem destruída:
Explicação passo a passo da notação e dos termos:
-
é a densidade local. -
é o vetor velocidade. -
é a divergência do fluxo de massa; essa equação é uma equação escalar (uma equação para a incógnita ).
Passo 5
Em seguida, as equações de conservação de quantidade de movimento (três componentes do balanço de momento, uma para cada componente da velocidade). Em forma vetorial compacta (Navier–Stokes compressível com forças de corpo
):
Explicação dos termos:
-
é a densidade de quantidade de movimento. -
representa o transporte convectivo do momento (observe que isso é um tensor que resulta em um vetor). -
é a força por gradiente de pressão. -
é o tensor de tensões viscosas (contém as contribuições da viscosidade); a expressão de será dada adiante. -
é a força de corpo (ex.: gravidade). Cada componente desta equação fornece uma equação escalar para , e .
Passo 6
A equação de conservação de energia. É comum usar a equação para a energia total por unidade de massa
, que combina energia interna
e energia cinética:
A forma conservativa da equação de energia (por unidade de volume, para o sistema compressível) é
Explicação dos termos:
-
é a densidade de energia total. -
é o fluxo convectivo de energia mais o trabalho de pressão. -
representa a transferência de energia por tensões viscosas (viscous dissipation/working). -
é o vetor fluxo de calor (sai com sinal negativo porque é a contribuição para o balanço de energia). -
é a potência das forças de corpo.
Passo 7
Precisamos agora das relações que fecham o sistema: equação de estado e leis constitutivas (porque
,
,
e
aparecem nas equações acima).
- Equação de estado (ex.: gás ideal monoespécie):
onde
é a constante do gás por unidade de massa e
é a temperatura. Alternativamente pode ser usada a relação entre energia interna e temperatura:
onde
é a capacidade calorífica a volume constante por unidade de massa. Assim
.
- Lei de Newton para fluido newtoniano (tensor de tensões viscosas, adotando a hipótese de Stokes para o termo dilatacional):
onde
é a viscosidade dinâmica (constante segundo o enunciado),
é o delta de Kronecker, e
.
- Lei de Fourier para fluxo de calor:
onde
é a condutividade térmica (tratada como constante pelo enunciado).
Passo 8
Fechamento do sistema e contagem de equações versus incógnitas:
- As equações de conservação fornecem exatamente 5 equações escalares: 1 (continuidade) + 3 (momentum) + 1 (energia) = 5.
- As incógnitas primárias também são 5 (por exemplo
ou ). - A equação de estado e as leis constitutivas não aumentam o número de incógnitas; elas fornecem expressões para
, , e em termos das 5 incógnitas primárias. Assim o sistema fica fechado e determinístico (assumindo condições de contorno e iniciais apropriadas).
Passo 9
Observações práticas úteis para prova/cálculo (jeito rápido de lembrar):
- Se escolher as variáveis primárias
tem 5 incógnitas e usa-se continuidade, momento (3 eqs) e energia; vem da equação de estado . - Se escolher
também tem 5 incógnitas; aí a relação (válida para gás perfeito com razão de calores ) é a forma prática de trazer para as equações. - As leis constitutivas (expressões de
e ) são necessárias sempre que houver viscosidade e condução de calor — mesmo com e constantes.
Resposta
5\n
Equações: continuidade ( ), três equações de momento (Navier–Stokes compressível:
), equação de energia (
), mais a equação de estado (por exemplo
para gás ideal) e as leis constitutivas
e
.
Equações: continuidade (