Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
(a)Os vetores V1, V2 e 3 são LI(linearmente independentes).
(b) O vetor V3'e uma combina,cão linear dos vetores V1 e V2 .
(c) O vetor V1+V3'e paralelo ao vetor V2 .
(d) O vetor V1 times V2(produto vetorial)'e ortogonal ao vetor V3 .
Passo 1
O enunciado dá os vetores em R^3
V1 = 12-1, V2 = -201, V3 = 3-22
e pede para julgar como VERDADEIRO ou FALSO as afirmações:
(a) V1,V2,V3 são linearmente independentes;
(b) V3 é combinação linear de V1 e V2;
(c) V1+V3 é paralelo a V2;
(d) V1times V2 é ortogonal a V3.
Passo 2
Para testar a independência linear calculamos o determinante da matriz cujas colunas são V1,V2,V3:
Como o determinante é não nulo, os três vetores são linearmente independentes. Logo (a) é VERDADEIRO.
Passo 3
Para verificar se
Isso dá o sistema
Da segunda equação , mas na terceira . Não há solução, então (b) é FALSO.
Passo 4
Calculemos V1+V3:
V1+V3 = 1+32-2-1+2 = 401
Verificamos se existe k tal que 401=k-201. Da primeira componente 4=-2kRightarrow k=-2, mas da terceira vem 1=kcdot1=-2, impossível. Logo não são paralelos e (c) é FALSO.