4.Considere os seguintes vetores de R^3
V1=(r 1 2 -1 ) ; V2=(r -2 0 1 ) ; V3=(r 3 -2 2 )
Responda VERDADEIRO ou FALSO justificando:
(a)Os vetores V1, V2 e 3 são LI(linearmente independentes).
(b) O vetor V3'e uma combina,cão linear dos vetores V1 e V2
(c) O vetor V1+V3'e paralelo ao vetor V2
(d) O vetor V1 times V2(produto vetorial)'e ortogonal ao vetor V3

Passo 1

O enunciado dá os vetores em R^3
V1 = 12-1, V2 = -201, V3 = 3-22
e pede para julgar como VERDADEIRO ou FALSO as afirmações:
(a) V1,V2,V3 são linearmente independentes;
(b) V3 é combinação linear de V1 e V2;
(c) V1+V3 é paralelo a V2;
(d) V1times V2 é ortogonal a V3.

Passo 2

Para testar a independência linear calculamos o determinante da matriz cujas colunas são V1,V2,V3:
det 1 & -2 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 2 =1,(0cdot2-(-2)cdot1) -(-2),(2cdot2-(-2)cdot(-1)) +3,(2cdot1-0cdot(-1)) =2+4+6=12neq0
Como o determinante é não nulo, os três vetores são linearmente independentes. Logo (a) é VERDADEIRO.

Passo 3

Para verificar se
Isso dá o sistema
Da segunda equação , mas na terceira . Não há solução, então (b) é FALSO.

Passo 4

Calculemos V1+V3:
V1+V3 = 1+32-2-1+2 = 401
Verificamos se existe k tal que 401=k-201. Da primeira componente 4=-2kRightarrow k=-2, mas da terceira vem 1=kcdot1=-2, impossível. Logo não são paralelos e (c) é FALSO.

Passo 5

Primeiro o produto vetorial
V1times V2 =det i&j&k 1&2&-1 -2&0&1 =2cdot1-(-1)cdot0-,l(1cdot1-(-1)cdot(-2)r)1cdot0-2cdot(-2) =214
Agora o produto escalar com V3:
l(V1times V2r)cdot V3 =2cdot3 + 1cdot(-2) + 4cdot2 =6 -2 +8 =12neq0
Como não é zero, não são ortogonais e (d) é FALSO.

Resposta

(a) VERDADEIRO
(b) FALSO
(c) FALSO
(d) FALSO

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