4.4E Encontre uma função potencial para o campo
definido em
por
.
resp.
, se
e
, se
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função potencial
para o campo
definido em
, onde
.
O conteúdo envolvido é o de campos conservativos e funções potenciais; vamos primeiro verificar que é conservativo e depois construir
tal que
.
O conteúdo envolvido é o de campos conservativos e funções potenciais; vamos primeiro verificar que
Passo 2
Para ver que
é conservativo, note que
Calculamos as derivadas mistas:
Como
, o campo é irrotacional em
e portanto conservativo.
Passo 3
Para um campo radial como este, faz sentido buscar
que dependa somente de
. Assim, suponha
Aí
Queremos
.
Passo 4
Comparando componentes, da igualdade
vemos que necessariamente
Para encontrar
, integramos em
:
Passo 5
Se
,
Se
, então integra-se
e obtém-se
Resposta
Para
,
Para
,