4.4E Encontre uma função potencial para o campo F definido em R^2 backslash0,0 por F(r)=r^p r. [ resp. varphi(r)=1p+2 r^p+2, se p neq-2 e varphi(r)=ln r+C, se p=-2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função potencial varphi para o campo
F(x,y)=r^p,(x,y),
definido em R^2setminus(0,0), onde r=raizx^2+y^2.
O conteúdo envolvido é o de campos conservativos e funções potenciais; vamos primeiro verificar que F é conservativo e depois construir varphi tal que nabla varphi=F.

Passo 2

Para ver que F é conservativo, note que
Fx(x,y)=x,r^p, Fy(x,y)=y,r^p
Calculamos as derivadas mistas:
partial Fypartial x =partialpartial xl(y,r^pr) =y,p,r^p-2,x, partial Fxpartial y =partialpartial yl(x,r^pr) =x,p,r^p-2,y
Como partial Fy/partial x=partial Fx/partial y, o campo é irrotacional em R^2setminus0 e portanto conservativo.

Passo 3

Para um campo radial como este, faz sentido buscar varphi que dependa somente de r. Assim, suponha
varphi(x,y)=h(r)
nabla varphi =h'(r),nabla r =h'(r),(x,y)r
Queremos nablavarphi=F=(x,r^p,y,r^p).

Passo 4

Comparando componentes, da igualdade
h'(r),xr=x,r^p
vemos que necessariamente
h'(r)=r^p+1
Para encontrar h(r), integramos em r:
h(r)=integral r^p+1,dr

Passo 5

Se pneq -2,
h(r)=r^p+2p+2+C
Se p=-2, então integra-se r^-1 e obtém-se
h(r)=ln r + C

Resposta

Para pneq -2,
varphi(x,y)=1p+2,r^p+2+C
Para p=-2,
varphi(x,y)=ln r + C

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