4.4D Supondo que f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} seja uma função periódica com período fundamental T, determine o período fundamental das funções g(x)=f(a x) e h(x)=f(x / b), a, b \neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é periódica de período fundamental T>0. Queremos achar o período fundamental de g(x)=f(a x) e de h(x)=f(x/b)
em que a\neq0 e b\neq0.

Passo 2

Para g procuramos o menor P>0 tal que
g(x+P)=g(x)\quad\forall x.
Mas
g(x+P)=f\bigl(a(x+P)\bigr)=f\bigl(ax + aP\bigr)
e isso iguala f(ax) sempre que
aP = k\,T\quad\text{com }k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

O menor P>0 ocorre para k=1, logo
P = \frac{T}{a}\quad\text{se }a>0,\quad P = -\frac{T}{a}\quad\text{se }a<0.
Em ambos os casos obtemos
P = \frac{T}{\lvert a\rvert}.
Portanto o período fundamental de g é
T_g = \frac{T}{\lvert a\rvert}.

Passo 4

Para h buscamos o menor P>0 tal que
h(x+P)=h(x)\quad\forall x.
Temos
h(x+P)=f\Bigl(\frac{x+P}{b}\Bigr)=f\Bigl(\frac{x}{b} + \frac{P}{b}\Bigr)
e isso vale f(x/b) sempre que
\frac{P}{b} = k\,T\quad\text{com }k\in\mathbb{Z}.

Passo 5

O menor P>0 dá-se para k=1, logo
P = b\,T\quad\text{se }b>0,\quad P = -b\,T\quad\text{se }b<0,
ou seja
P = \lvert b\rvert\,T.
Assim o período fundamental de h é
T_h = \lvert b\rvert\,T.

Resposta

O período fundamental de g(x)=f(a x) é \displaystyle T_g = \frac{T}{\lvert a\rvert}
e o de h(x)=f(x/b) é \displaystyle T_h = \lvert b\rvert\,T.

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