\checkmark 4.4E A função f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2} / 4 \pi-x / 2+\pi / 2, \quad-\pi \leq x \leq 0 \\\\ -x^{2} / 4 \pi+x / 2+\pi / 2, \quad 0 \leq x \leq \pi\end{array}\right. é suposta 2 \pi-periódica. Encontre sua série de Fourier.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função
\[f(x)= \begin{cases} -\dfrac{x^{2}}{4\pi}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}, & -\pi\le x\le0,\\[6pt] -\dfrac{x^{2}}{4\pi}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}, & 0\le x\le\pi, \end{cases}
ou seja, determinar os coeficientes \displaystyle a_{0},a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx\] e \(\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.]
Logo em \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx só contribui a parte par e em \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx só contribui a parte par, enquanto
em \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx só contribui a parte ímpar.