\checkmark 4.4E A função f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2} / 4 \pi-x / 2+\pi / 2, \quad-\pi \leq x \leq 0 \\\\ -x^{2} / 4 \pi+x / 2+\pi / 2, \quad 0 \leq x \leq \pi\end{array}\right. é suposta 2 \pi-periódica. Encontre sua série de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de período 2\pi\) da função \[f(x)= \begin{cases} -\dfrac{x^{2}}{4\pi}-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}, & -\pi\le x\le0,\\[6pt] -\dfrac{x^{2}}{4\pi}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{2}, & 0\le x\le\pi, \end{cases}
ou seja, determinar os coeficientes \displaystyle a_{0},a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx\] e \(\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx.]

Passo 2

Observamos que
f(x)=g_{\rm even}(x)+g_{\rm odd}(x),
com
g_{\rm even}(x)=-\frac{x^{2}}{4\pi}+\frac{\pi}{2}, \qquad g_{\rm odd}(x)=\frac{x}{2}.
Logo em \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx só contribui a parte par e em \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx só contribui a parte par, enquanto
em \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx só contribui a parte ímpar.

Passo 3

Cálculo de a_{0}:
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl(-\frac{x^{2}}{4\pi}+\frac{\pi}{2}\Bigr)dx =\frac{1}{\pi}\Bigl(\pi^{2}-\frac{\pi^{2}}{6}\Bigr) =\frac{5\pi}{6}.
Portanto o termo constante é \displaystyle \frac{a_{0}}{2}=\frac{5\pi}{12}.

Passo 4

Cálculo de a_{n} n\ge1:
a_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g_{\rm even}(x)\cos(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\Bigl(-\frac{x^{2}}{4\pi}+\frac{\pi}{2}\Bigr)\cos(nx)\,dx.
O termo com \displaystyle\frac{\pi}{2} dá zero porque \displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx=0. Resta
a_{n} =-\frac{2}{4\pi^{2}}\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx =-\frac{1}{2\pi^{2}}\,I,
onde \displaystyle I=\int_{0}^{\pi}x^{2}\cos(nx)\,dx. Por partes duas vezes obtém-se \displaystyle I=2\pi\,\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}. Logo
a_{n} =-\frac{1}{2\pi^{2}}\;2\pi\,\frac{(-1)^{n}}{n^{2}} =-\frac{(-1)^{n}}{\pi\,n^{2}} =\frac{(-1)^{n+1}}{\pi\,n^{2}}.

Passo 5

Cálculo de b_{n} n\ge1:
b_{n} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g_{\rm odd}(x)\sin(nx)\,dx =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
Por partes encontra-se \displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx=-\frac{\pi\,(-1)^{n}}{n}, de onde
b_{n} =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi\,(-1)^{n}}{n}\Bigr) =-\frac{(-1)^{n}}{n} =\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Resposta

A série de Fourier de f é
f(x) =\frac{5\pi}{12} +\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[ \frac{(-1)^{n+1}}{\pi\,n^{2}}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) \Biggr].

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