Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo (ou, equivalentemente, se a forma diferencial
com
e
é exata)
e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial . Como o domínio natural é
, que é simplesmente conexo, vamos usar o teste
e depois integrar para achar
.
é conservativo (ou, equivalentemente, se a forma diferencial
e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
e
:
Como
em todo , concluímos que
é conservativo.
em todo
Passo 3
Para obter a função potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante de integração” que pode depender apenas de
.
Passo 4
Impondo que
, temos
Assim
Substituindo em
, obtém-se
Resposta
O campo
é conservativo em
e admite a função potencial