Verifique se o campo (respectivamente a forma) é conservativo (respectivamente exata) e determine uma função potencial em caso afirmativo.
F(x, y)=(2 x e^y+y) i+(x^2 e^y+x-2 y) j.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y) = l(2x e^y + yr),i + l(x^2 e^y + x - 2yr),j
é conservativo (ou, equivalentemente, se a forma diferencial
omega = P,dx + Q,dy com P(x,y)=2x e^y+y e Q(x,y)=x^2e^y+x-2y é exata)
e, em caso afirmativo, determinar uma função potencial phi(x,y). Como o domínio natural é R^2, que é simplesmente conexo, vamos usar o teste
partial P/partial y = partial Q/partial x e depois integrar para achar phi.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de P e Q:
partial Ppartial y = partialpartial yl(2x e^y + yr) = 2x e^y + 1,
partial Qpartial x = partialpartial xl(x^2 e^y + x - 2yr) = 2x e^y + 1
Como
partial Ppartial y = partial Qpartial x
em todo R^2, concluímos que F é conservativo.

Passo 3

Para obter a função potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y) = integral l(2x e^y + yr),dx = x^2 e^y + x,y + h(y),
onde h(y) é uma “constante de integração” que pode depender apenas de y.

Passo 4

Impondo que partial phi/partial y = Q, temos
partial phipartial y = x^2 e^y + x + h'(y) stackrel!= x^2 e^y + x - 2y
Assim
h'(y) = -2y Longrightarrow h(y) = -y^2 + C
Substituindo em phi, obtém-se
phi(x,y) = x^2 e^y + x,y - y^2 + C

Resposta

O campo F é conservativo em R^2 e admite a função potencial
phi(x,y) = x^2 e^y + x,y - y^2 + C

Exercícios relacionados