1.4F Prove que
. Se
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite da sequência
quando , e depois generalizar para
com
.
O conteúdo aqui é o uso de desigualdades para comparar com potências mais simples e, em seguida, o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para limites, sabendo que para qualquer constante vale
.
quando
O conteúdo aqui é o uso de desigualdades para comparar com potências mais simples e, em seguida, o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para limites, sabendo que para qualquer constante
Passo 2
No caso específico
, note que para todo
temos
Aplicando a potência
em cada membro da desigualdade, obtém-se
Passo 3
Como
, pelo Teorema do Confronto segue
Passo 4
Para o caso geral, seja
. Então
e
, logo
Tomando a
-ésima potência,
De novo,
, então pelo Squeeze Theorem