1.4F Prove que lim n infty(3^n+4^n)^1 / n=4. Se a, b >= 0, mostre que lim n infty(a^n+b^n)^1 / n=max a, b.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
l(3^n+4^nr)^1/n
quando ntoinfty, e depois generalizar para
l(a^n+b^nr)^1/n com a,b>=0.
O conteúdo aqui é o uso de desigualdades para comparar com potências mais simples e, em seguida, o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem) para limites, sabendo que para qualquer constante C>0 vale
limntoinftyC^1/n=1.

Passo 2

No caso específico 3^n+4^n, note que para todo n>=1 temos
4^n <= 3^n+4^n <= 4^n + 4^n = 2cdot4^n
Aplicando a potência 1/n em cada membro da desigualdade, obtém-se
4 ;<=; l(3^n+4^nr)^1/n ;<=; l(2cdot4^nr)^1/n =2^1/n,4

Passo 3

Como limntoinfty2^1/n=1, pelo Teorema do Confronto segue
limntoinftyl(3^n+4^nr)^1/n =4

Passo 4

Para o caso geral, seja M=maxa,b. Então a^n<= M^n e b^n<= M^n, logo
M^n <= a^n + b^n <= M^n + M^n = 2,M^n
Tomando a 1/n-ésima potência,
M ;<=; l(a^n + b^nr)^1/n ;<=; 2^1/n,M
De novo, limntoinfty2^1/n=1, então pelo Squeeze Theorem
limntoinftyl(a^n+b^nr)^1/n = M = maxa,b

Resposta

limntoinftyl(3^n+4^nr)^1/n=4
limntoinftyl(a^n+b^nr)^1/n=maxa,b

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