Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x)
(\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x)
Passo 1
O enunciado pede calcular
usando integração por partes. A técnica de integração por partes se baseia na fórmula
que é útil quando a gente consegue separar o integrando em duas partes: uma que simplifica ao derivar e outra cuja primitiva nós sabemos encontrar.
Passo 2
Para organizar, reescrevemos
Então escolhemos
Passo 3
Calculamos
e
. Derivando
temos
Para
, achamos a primitiva de
:
fazendo a substituição , logo
e
, obtemos
fazendo a substituição
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de partes:
Isso simplifica para
Passo 5
Falta resolver
. Repetimos a substituição
(
), então
Passo 6
Substituindo esse resultado na expressão do Passo 4: