Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede calcular integral x^3cosl(x^2r),dx usando integração por partes. A técnica de integração por partes se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du,
que é útil quando a gente consegue separar o integrando em duas partes: uma que simplifica ao derivar e outra cuja primitiva nós sabemos encontrar.

Passo 2

Para organizar, reescrevemos
integral x^3cosl(x^2r),dx = integral x^2,l(xcos(x^2)r),dx
Então escolhemos
u = x^2, dv = xcosl(x^2r),dx

Passo 3

Calculamos du e v. Derivando u temos
du = 2x,dx
Para v, achamos a primitiva de xcos(x^2):
fazendo a substituição w = x^2, logo dw = 2x,dx e x,dx = tfrac12,dw, obtemos
v = integral xcosl(x^2r),dx = tfrac12 integral cos(w),dw = tfrac12 sin(w) = tfrac12 sinl(x^2r)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de partes:
integral x^3cosl(x^2r),dx = u,v - integral v,du = x^2,12sinl(x^2r) - integral 12sinl(x^2r),l(2x,dxr)
Isso simplifica para
integral x^3cosl(x^2r),dx = 12,x^2sinl(x^2r) - integral x,sinl(x^2r),dx

Passo 5

Falta resolver integral x,sin(x^2),dx. Repetimos a substituição w = x^2 ( dw = 2x,dx), então
integral x,sinl(x^2r),dx = tfrac12 integral sin(w),dw = -tfrac12cos(w) = -tfrac12cosl(x^2r)

Passo 6

Substituindo esse resultado na expressão do Passo 4:
integral x^3cosl(x^2r),dx = 12,x^2sinl(x^2r) - l(-tfrac12cosl(x^2r)r) + C = 12,x^2sinl(x^2r) + 12cosl(x^2r) + C

Resposta

integral x^3cosl(x^2r),dx = x^2sinl(x^2r) + cosl(x^2r)2 + C

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