Uma classe importante de equações diferenciais de primeira ordem consiste naquelas nas quais a variável independente não aparece explicitamente. Tais equações são ditas autônomas e têm a forma
Essas equações se aplicam no crescimento ou declínio populacional de uma espécie dada. As raizes da equação
são denominadas de pontos críticos ou pontos estacionários ou singularidades da equação diferencial autônoma. Determine os pontos críticos das equações a seguir.
Passo 1
O enunciado apresenta uma equação diferencial autônoma da forma
onde
é um parâmetro e os pontos críticos são as raízes de
. Vamos achar esses pontos.
Passo 2
Para encontrar os pontos críticos igualamos
a zero:
Passo 3
Da equação acima segue
e portanto
Observação: se
há dois pontos críticos reais
e
; se
há um ponto crítico
; se
não há pontos críticos reais.
Resposta
Os pontos críticos são
valendo notar que para
fica
e para
não há soluções reais.