Uma classe importante de equações diferenciais de primeira ordem consiste naquelas nas quais a variável independente não aparece explicitamente. Tais equações são ditas autônomas e têm a forma
d yd t=f(y)
Essas equações se aplicam no crescimento ou declínio populacional de uma espécie dada. As raizes da equação f(y)=0 são denominadas de pontos críticos ou pontos estacionários ou singularidades da equação diferencial autônoma. Determine os pontos críticos das equações a seguir.
d yd t=a-y^2

Passo 1

O enunciado apresenta uma equação diferencial autônoma da forma
d yd t=f(y)=a-y^2,
onde a é um parâmetro e os pontos críticos são as raízes de f(y)=0. Vamos achar esses pontos.

Passo 2

Para encontrar os pontos críticos igualamos f(y) a zero:
a - y^2 = 0

Passo 3

Da equação acima segue
y^2 = a
e portanto
y = pmraiza
Observação: se a>0 há dois pontos críticos reais y=+raiza e y=-raiza; se a=0 há um ponto crítico y=0; se a<0 não há pontos críticos reais.

Resposta

Os pontos críticos são
y = +raiza e y = -raiza,
valendo notar que para a=0 fica y=0 e para a<0 não há soluções reais.

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