Exercício 7. Nós provamos em aula que, se
e
são funções tais que
e
, então
com derivada fraca dada por
Mostre que o mesmo resultado vale com a hipótese
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
,
,
e
,
então com
então
Já sabemos desse resultado quando
. A ideia agora é aproximar
por funções suavizadas, aplicar o caso
e passar a limite.
Passo 2
Escolha um conjunto compacto
. Primeiro definimos uma truncatura de
para garantir boundedness local. Para
, seja
Então
,
quando
, e
Passo 3
Para cada
fixe, mollifique
em
. Isto é, escolha núcleos de mollificação
e defina
Então
,
quando
, e cada
é limitada em
(pois
era).
Passo 4
Como
e é limitada, podemos aplicar o resultado já provado:
Passo 5
Fixe
e faça
. Como
em
e
é uniformemente limitada por
, temos por convergência dominada:
em
. Logo
e
Passo 6
Agora deixe
. Como
em
e
, novamente por convergência dominada segue
em
. Assim
com
em
.
Resposta
Como
era arbitrário, concluímos que
em
.