Exercício 7. Nós provamos em aula que, se u in W^1(Omega) e v in C^1(Omega) são funções tais que u v in L loc ^1(Omega) e u nabla v+v nabla u in L loc ^1(Omega), então u v in W^1 com derivada fraca dada por
nabla(u v)=u nabla v+v nabla u
Mostre que o mesmo resultado vale com a hipótese v in W^1(Omega).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
;uin W^1(Omega), ;vin W^1(Omega),
;uvin L^1loc(Omega) e ;unabla v+vnabla uin L^1loc(Omega),
então uvin W^1(Omega) com
nabla(uv)=u,nabla v+v,nabla u
Já sabemos desse resultado quando vin C^1(Omega). A ideia agora é aproximar v por funções suavizadas, aplicar o caso C^1 e passar a limite.

Passo 2

Escolha um conjunto compacto Omega'subsetsubsetOmega. Primeiro definimos uma truncatura de v para garantir boundedness local. Para N>0, seja
v^N(x)=maxl-N,minv(x),Nr
Então v^Nin W^1(Omega)cap L^infty(Omega'), |v^N-v|W^1(Omega') to 0 quando Ntoinfty, e
nabla v^N=chi|v|<Nnabla vae in Omega'

Passo 3

Para cada N fixe, mollifique v^N em Omega'. Isto é, escolha núcleos de mollificação rhok e defina
v^Nk = v^N * rhokem Omega'
Então v^Nkin C^infty(Omega'), |v^Nk - v^N|W^1(Omega') to 0 quando ktoinfty, e cada v^Nk é limitada em Omega' (pois v^N era).

Passo 4

Como v^Nkin C^1(Omega') e é limitada, podemos aplicar o resultado já provado:
u,v^Nk in W^1(Omega'), nablal(u,v^Nkr) = u,nabla v^Nk + v^Nk,nabla u

Passo 5

Fixe N e faça ktoinfty. Como v^Nkto v^N em W^1(Omega') e v^Nk é uniformemente limitada por N, temos por convergência dominada:
u,v^Nk longrightarrow u,v^N e u,nabla v^Nk + v^Nk,nabla u longrightarrow u,nabla v^N + v^N,nabla u
em L^1(Omega'). Logo u,v^Nin W^1(Omega') e
nabla(u,v^N)=u,nabla v^N + v^N,nabla u

Passo 6

Agora deixe Ntoinfty. Como v^Nto v em W^1(Omega') e |v^N|L^infty(Omega')<= N, novamente por convergência dominada segue
u,v^Nlongrightarrow u,v e u,nabla v^N + v^N,nabla u longrightarrow u,nabla v + v,nabla u
em L^1(Omega'). Assim u,vin W^1(Omega') com
nabla(u,v)=u,nabla v + v,nabla u
em Omega'.

Resposta

Como Omega'subsetsubsetOmega era arbitrário, concluímos que
uvin W^1(Omega) e nabla(uv)=u,nabla v+v,nabla u
em Omega.

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