5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que não é exata. O conteúdo é “equações diferenciais exatas” e “fator integrante”. Vamos buscar um fator integrante
que dependa só de
ou só de
.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos
que dependa só de
. Para isso usamos a condição
Temos
logo
que depende só de
. Logo existe
.
Passo 4
Para
vale a equação
Integramos:
Passo 5
Multiplicamos a EDO original por
:
Verifica-se que agora
partialwidetilde M/partial y = partialwidetilde N/partial x , ou integramos
widetilde M em
x :
Passo 6
Derivando
Phi em
y e igualando a
widetilde N encontramos
h'(y)=0 , logo
h(y) é constante. A solução implícita é