5.4H Determine um fator integrante para cada uma das edo’s abaixo e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
3 x^2 y^2 d x+(2 x^3 y+x^3 y^4) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3x^2y^2,dx + l(2x^3y + x^3y^4r),dy = 0
que não é exata. O conteúdo é “equações diferenciais exatas” e “fator integrante”. Vamos buscar um fator integrante mu que dependa só de x ou só de y.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = 3x^2y^2, N(x,y) = 2x^3y + x^3y^4
Calculamos as derivadas parciais:
My = partialpartial y(3x^2y^2) = 6x^2y, Nx = partialpartial x(2x^3y + x^3y^4) = 6x^2y + 3x^2y^4
Como Myneq Nx, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos mu que dependa só de y. Para isso usamos a condição
Nx-MyM deve depender apenas de y
Temos
Nx-My = 3x^2y^4,
logo
Nx-MyM = 3x^2y^43x^2y^2 = y^2,
que depende só de y. Logo existe mu=mu(y).

Passo 4

Para mu(y) vale a equação
mu'(y)mu(y) = y^2
Integramos:
lnmu(y) = integral y^2,dy = y^33 + C Longrightarrow mu(y) = e^y^3/3

Passo 5

Multiplicamos a EDO original por mu(y):
underbrace3x^2y^2e^y^3/3widetilde M,dx + underbracel(2x^3y + x^3y^4r)e^y^3/3widetilde N,dy =0
Verifica-se que agora partialwidetilde M/partial y = partialwidetilde N/partial x, ou integramos widetilde M em x:
Phi(x,y) = integral 3x^2y^2e^y^3/3,dx = x^3y^2e^y^3/3 + h(y)

Passo 6

Derivando Phi em y e igualando a widetilde N encontramos h'(y)=0, logo h(y) é constante. A solução implícita é
Phi(x,y) = x^3y^2e^y^3/3 = C

Resposta

x^3y^2e^y^3/3 = C

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