1. Determine as assíntotas do gráfico de f(x)=x^2+x-6x^2+4 x-12.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas da função racional
f(x)=x^2+x-6x^2+4x-12
O conteúdo envolvido é “assíntotas de funções racionais”. Para resolver, precisamos:
  1. Encontrar as descontinuidades (zeros do denominador) e verificar se geram assíntota vertical ou buraco removível.
  2. Analisar o comportamento de f(x) quando xtopminfty para achar eventual assíntota horizontal (ou oblíqua).

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador e simplificar eventuais fatores comuns.
O numerador é
x^2+x-6=(x+3)(x-2),
e o denominador é
x^2+4x-12=(x+6)(x-2)
Logo, para xneq2,
f(x)=(x+3)(x-2)(x+6)(x-2)=x+3x+6
Perceba que em x=2 ambos numerador e denominador se anulam: há um buraco (ponto removível) em x=2, mas sem assíntota vertical.

Passo 3

Assíntota vertical ocorre onde o denominador da forma simplificada zera sem cancelamento. Após simplificar, o denominador é x+6. Logo, em x=-6 temos
limxto -6^pmf(x)=limxto -6^pmx+3x+6=pminfty,
o que caracteriza uma assíntota vertical em
x=-6

Passo 4

Para xtopminfty, a forma simplificada x+3x+6 tem grau igual no numerador e denominador. O limite é o quociente dos coeficientes de x:
limxtopminftyf(x)=limxtopminftyx+3x+6=1
Isso indica uma assíntota horizontal em
y=1

Resposta

Assíntota vertical: x=-6
Assíntota horizontal: y=1

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