3.4H Encontre uma expansão em série de potências de x para x^2 e^-x e, derivando o resultado, prove que sumn=2^infty (-1)^n(n+2) 2^n+1n!=8.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de potências a função
g(x)=x^2e^-x
e, a partir dessa expansão e de sua derivada, mostrar que
sumn=2^infty(-1)^n(n+2)2^n+1n!=8
Usaremos a série de Taylor de e^-x e diferenciação termo a termo.

Passo 2

Começamos pela série de e^-x:
e^-x=sumn=0^infty(-1)^nx^nn!
Multiplicando por x^2 obtemos
x^2e^-x =sumn=0^infty(-1)^nx^n+2n!
Fazendo a mudança de índice k=n, isso é
g(x)=x^2e^-x =sumk=0^infty(-1)^kx^k+2k!

Passo 3

Diferenciando termo a termo,
g'(x) =ddxl(x^2e^-xr) =(2x - x^2)e^-x,
e pela série
g'(x) =sumk=0^infty(-1)^k(k+2)x^k+1k!

Passo 4

Avaliamo-lo em x=2. De um lado, pela forma fechada,
g'(2)=(2cdot 2 - 2^2)e^-2=(4-4)e^-2=0
Do outro lado, pela série,
g'(2) =sumk=0^infty(-1)^k(k+2),2^,k+1k!
Logo
sumk=0^infty(-1)^k(k+2),2^,k+1k!=0

Passo 5

Separemos os dois primeiros termos ( k=0 e k=1) da soma infinita:
underbrace(-1)^0(0+2)2^10!=4 +underbrace(-1)^1(1+2)2^21!=-12 +sumk=2^infty(-1)^k(k+2),2^,k+1k! =0
Assim
4-12+sumk=2^infty(-1)^k(k+2),2^,k+1k!=0 Longrightarrow sumk=2^infty(-1)^k(k+2),2^,k+1k!=8

Resposta

8

Exercícios relacionados