3.4H Encontre uma expansão em série de potências de
para
e, derivando o resultado, prove que
.
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série de potências a função
e, a partir dessa expansão e de sua derivada, mostrar que
Usaremos a série de Taylor de
e diferenciação termo a termo.
Passo 2
Começamos pela série de
:
Multiplicando por
obtemos
Fazendo a mudança de índice
, isso é
Passo 3
Diferenciando termo a termo,
e pela série
Passo 4
Avaliamo-lo em
. De um lado, pela forma fechada,
Do outro lado, pela série,
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Passo 5
Separemos os dois primeiros termos (
e
) da soma infinita:
Assim