(1,0) Sejam a>0, f(x)=ln (x-a) e g(x)=e^x
(a) Determine f(g(x)) e o domínio de f circ g.
[0,5]
f(g(x))=f(e^x)=ln (e^x-a)
Para f circ g estar bem definido devemos ter:
e^x-a>0 Rightarrow e^x>a Rightarrow x>ln a
Portanto, Dom f circ g=(ln a, infty)
(b) Determine todos os números x tais que f(g(x))=0.
[0,5]
f(g(x))=0 & Rightarrow ln (e^x-a)=0 & Rightarrow e^x-a=e^0=1 & Rightarrow e^x=1+a & Rightarrow x=ln (1+a)
Note que
0<1 Rightarrow a<1+a Rightarrow ln a<ln (1+a)
Portanto, x=ln (1+a) está no Dom f circ g.

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=ln(x-a) com a>0 e g(x)=e^x.
No item (a) queremos encontrar a composição fcirc g e seu domínio.
No item (b) precisamos resolver a equação f(g(x))=0.

Passo 2

Para obter fcirc g, substituímos g(x) em f:
f(g(x)) = lnl(e^x - ar)
Agora, para que f(g(x)) esteja definido, é necessário
e^x - a > 0
isto é,
e^x > a Longrightarrow x > ln a
Portanto
Dom(fcirc g) = (ln a,infty)

Passo 3

Para resolver f(g(x))=0, fazemos
lnl(e^x - ar) = 0
o que implica
e^x - a = 1 Longrightarrow e^x = a + 1 Longrightarrow x = ln(a+1)
Como a>0 garante a+1>a, temos ln(a+1)>ln a, logo
ln(a+1)in(ln a,infty).

Resposta

(a) f(g(x)) = lnl(e^x - ar). Dom (ln a,infty).
(b) A única solução é x = ln(a+1).

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