Dado a>0, definamos ga: R C por ga(x)=sen(a x)pi x.
a) Calcule F(H(x) e^-a x-H(-x) e^a x) e F(chia(x)), em que
chia(x)=l 1,|x| <= a 0,|x|>a
(Note que H(x) e^-a|x|-H(-x) e^a x é a função que é igual a e^-a x, para x>0, igual a e^a x, para x<0, e igual a 0 para x=0 ).
Sabendo que F(F(f))(x)=2 pi f(-x) e usando os resultados obtidos anteriormente, calcule F(xx^2+a^2) e F(sen(a x)pi x).
b) Use a transformada de Fourier para mostrar que
ga * gb=gmin (a, b)
(Dica: Use que a transformada de Fourier leva convolução em multiplicação)
c) Use o Teorema de Parseval (também conhecido como Plancherel) para demonstrar que
integral-infty^infty t^2(t^2+a^2)(t^2+b^2) d t=pia+b

Passo 1

O enunciado explora transformadas de Fourier no sentido
F(f)(omega)=integral-infty^inftyf(x)e^-iomega x,dx,
além da propriedade de dualidade
F(F(f))(x)=2pi f(-x),
da convolução e do Teorema de Parseval. Precisamos 1) calcular F(H(x)e^-ax-H(-x)e^ax) e F(chia), 2) usar dualidade para obter Fl(x/(x^2+a^2)r) e F(sen(ax)/(pi x)), 3) mostrar ga*gb = gmin(a,b) usando que a transformada leva convolução em produto, e 4) aplicar Parseval para avaliar
integral-infty^inftyt^2(t^2+a^2)(t^2+b^2),dt.

Passo 2

Calculemos
f(x)=H(x)e^-a x-H(-x)e^a x
Para omegain R
F(f)(omega) =integral0^inftye^-a xe^-iomega xdx-integral-infty^0e^a xe^-iomega xdx =1a+iomega-1a-iomega =-2iomegaa^2+omega^2

Passo 3

Calculemos
chia(x)=1 se |x|<= a, e 0 caso contrário. Então
F(chia)(omega) =integral-a^ae^-iomega xdx =e^-iomega x-iomega|-a^a =e^-iomega a-e^iomega a-iomega =2sin(aomega)omega

Passo 4

Usando dualidade: seja
sabemos de #2 que
. Como
, e chamando
, nota-se que
, logo
de onde
Para , em #3 vimos que
. Mas isso é . Ou seja
. Dividindo por 2,

Passo 5

Pela propriedade de convolução,
F(ga*gb)(omega) =F(ga)(omega),F(gb)(omega) =chia(omega),chib(omega) =chimin(a,b)(omega)
Invertendo a transformada, reconhecemos gmin(a,b), logo
ga*gb = gmin(a,b)

Passo 6

Aplique Parseval a
Suas transformadas são
e
. Então

Resposta

a)
b)
c)

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