(Note que H(x) e^-a|x|-H(-x) e^a x é a função que é igual a e^-a x, para x>0, igual a e^a x, para x<0, e igual a 0 para x=0 ).
Sabendo que F(F(f))(x)=2 pi f(-x) e usando os resultados obtidos anteriormente, calcule F(xx^2+a^2) e F(sen(a x)pi x).
b) Use a transformada de Fourier para mostrar que
ga * gb=gmin (a, b)
(Dica: Use que a transformada de Fourier leva convolução em multiplicação)
c) Use o Teorema de Parseval (também conhecido como Plancherel) para demonstrar que
integral-infty^infty t^2(t^2+a^2)(t^2+b^2) d t=pia+b
Passo 1
O enunciado explora transformadas de Fourier no sentido
da convolução e do Teorema de Parseval. Precisamos 1) calcular F(H(x)e^-ax-H(-x)e^ax) e F(chia), 2) usar dualidade para obter Fl(x/(x^2+a^2)r) e F(sen(ax)/(pi x)), 3) mostrar ga*gb = gmin(a,b) usando que a transformada leva convolução em produto, e 4) aplicar Parseval para avaliar integral-infty^inftyt^2(t^2+a^2)(t^2+b^2),dt.