1.4H Mostre que (1+r+r^2+cdots+r^n-1)(1-r)=1-r^n. Se |r|<1, use essa relação e deduza que
lim n infty(1+r+cdots+r^n-1)=11-r
Agora, identifique a seqüência raiz2, raiz2 raiz2, raiz2 raiz2 raiz2, ldots com aquela de termo geral an=2^12+14+cdots+12^n e calcule seu limite.

Passo 1

O enunciado pede primeiro para provar a relação da soma finita de uma série geométrica e, em seguida, deduzir seu limite quando |r|<1. Depois, solicita reconhecer a sequência
raiz2,,raiz2raiz2,,raiz2raiz2raiz2,dots
como
an=2^12+14+cdots+12^n
e calcular limntoinftyan.

Passo 2

Seja
Sn ;=; 1 + r + r^2 + cdots + r^n-1
Multiplicando por (1-r) temos
(1-r)Sn = Sn - r,Sn = l(1 + r + cdots + r^n-1r) -l(r + r^2 + cdots + r^nr)
Na subtração telescópica cancelam todos os termos intermediários, restando
(1-r)Sn = 1 - r^n
Logo
l(1 + r + cdots + r^n-1r)(1-r)=1-r^n

Passo 3

Se |r|<1, então limntoinftyr^n=0. Da fórmula do passo anterior segue
limntoinftySn = limntoinfty1-r^n1-r = 11-r

Passo 4

Definimos a sequência aninhada por
b1=raiz2, b2=raiz2,raiz2, b3=raiz2,raiz2,raiz2,;dots
Observamos que
b1=2^12, b2=(2,b1)^12=2^12+14, b3=(2,b2)^12=2^12+14+18,;dots
Por indução chega-se a
bn ;=; 2^12+14+cdots+12^n ;=; an

Passo 5

Na soma do expoente temos uma série geométrica com r=tfrac12:
sumk=1^n 12^k = 12(1-(tfrac12)^n)1-12 =1-l(tfrac12r)^n
Logo
an = 2^,1 - (tfrac12)^n
Como limntoinfty(tfrac12)^n=0, segue
limntoinftyan =2^,1-0 =2

Resposta

limntoinfty(1+r+cdots+r^n-1)=11-r
limntoinftyraiz2,raiz2,cdots=2

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