2.4H Sejam r=x i+y j o vetor posição do ponto P(x, y) e r=|r|. Se f: R R é uma função duas vêzes derivável e z=f(r), mostre que De<a z=zr r+1r zr.

Passo 1

O enunciado define o vetor posição vec r = x,vec i + y,vec j em R^2, com r = |vec r| = raizx^2+y^2, e a função escalar z = f(r), onde f é duas vezes derivável. Precisamos mostrar que o laplaciano
De<a z = zxx + zyy
pode ser escrito em termos de derivadas em r como
De<a z = zrr + 1rzr
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de z em x e y, depois computar as segundas derivadas e somar.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, escrevemos as primeiras derivadas de em e . Como
temos
Mas
logo

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas. Para usamos produto e cadeia:
Sabendo que e
segue
Analogamente,

Passo 4

Somando as duas segundas derivadas, obtemos
De<a z = zxx + zyy = f''(r),x^2+y^2r^2 + f'(r),x^2+y^2r^3 = f''(r) + f'(r)r
Como por definição zr = f'(r) e zrr = f''(r), concluímos
De<a z = zrr + 1r,zr

Resposta

De<a z = zrr + 1rzr

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