2.4H Sejam
o vetor posição do ponto
e
. Se
é uma função duas vêzes derivável e
, mostre que
.
Passo 1
O enunciado define o vetor posição
em
, com
, e a função escalar
, onde
é duas vezes derivável. Precisamos mostrar que o laplaciano
pode ser escrito em termos de derivadas em
como
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
em
e
, depois computar as segundas derivadas e somar.
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, escrevemos as primeiras derivadas de
em
e
. Como
temos
Mas
logo
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas. Para
usamos produto e cadeia:
Sabendo que
e
segue
Analogamente,
Passo 4
Somando as duas segundas derivadas, obtemos
Como por definição
e
, concluímos