Seja
o hemisfério
, e
a normal unitária que aponta para fora da esfera. Seja
a região
e
.
(1 Ponto) a) Seja
a função dada por
. Calcule o fluxo de
em
na direção
, em que
é igual a
sobre
e é igual a
sobre
.
(1 Ponto) b) Seja
a função dada por
. Calcule o fluxo de
em
na direção
e o fluxo de
em
na direção
.
(1 Ponto) a) Seja
(1 Ponto) b) Seja
Passo 1
O enunciado define o sólido
como a meia-esfera
unida ao disco
, com
apontando para fora da esfera e
no disco. Pede-se o fluxo de
através de
(item a) e depois, para
, o fluxo separado em
e
(item b). Vamos usar o Teorema da Divergência para fechar o fluxo.
Passo 2
Calculemos a divergência de
:
Passo 3
Como
, o Teorema da Divergência diz
Logo, para o item (a) o fluxo é
Passo 4
Agora em (b) para
calculemos o fluxo através de
. Em
temos
,
então
Passo 5
A divergência de
é
logo o fluxo total em
é zero e
Resposta
a)
b) .
b)