Seja S1 o hemisfério x^2+y^2+z^2=1, z >= 0, e n1 a normal unitária que aponta para fora da esfera. Seja S2 a região (x, y, 0) in R^3 ; x^2+y^2 <= 1 e n2=(0,0,-1).
(1 Ponto) a) Seja f: R^3 R^3 a função dada por f(x, y, z)=(2 x+sen(y^2),-4 y+cos (x^2+z^6), 2 z+e^15 x). Calcule o fluxo de f em S=S1 cup S2 na direção n, em que n é igual a n1 sobre S1 e é igual a n2 sobre S2.
(1 Ponto) b) Seja f: R^3 R^3 a função dada por f(x, y, z)=(2 x,-4 y, 2 z+1). Calcule o fluxo de f em S1 na direção n1 e o fluxo de f em S2 na direção n2.

Passo 1

O enunciado define o sólido V como a meia-esfera S1colon x^2+y^2+z^2=1, z>=0 unida ao disco S2colon x^2+y^2<=1, z=0, com n1 apontando para fora da esfera e n2=(0,0,-1) no disco. Pede-se o fluxo de
f(x,y,z)=l(2x+sin(y^2),,-4y+cos(x^2+z^6),,2z+e^15xr)
através de S=S1cup S2 (item a) e depois, para
tilde f(x,y,z)=(2x,,-4y,,2z+1), o fluxo separado em S1 e S2 (item b). Vamos usar o Teorema da Divergência para fechar o fluxo.

Passo 2

Calculemos a divergência de f:
nabla!cdot f =partialpartial x(2x+sin(y^2)) +partialpartial y(-4y+cos(x^2+z^6)) +partialpartial z(2z+e^15x) =2+(-4)+2=0

Passo 3

Como nabla!cdot f=0, o Teorema da Divergência diz
integral duplaS1cup S2fcdot n,dS =integral triplaV(nabla!cdot f),dV =0
Logo, para o item (a) o fluxo é
boxed0

Passo 4

Agora em (b) para tilde f=(2x,-4y,2z+1) calculemos o fluxo através de S2. Em S2 temos z=0,
tilde f(x,y,0)=(2x,-4y,1), n2=(0,0,-1),
então
integral duplaS2tilde fcdot n2,dS =integral duplax^2+y^2<=1(2xcdot0+(-4y)cdot0+1cdot(-1)),dA =integral duplaD(-1),dA =-Area(D)=-pi

Passo 5

A divergência de tilde f é
nabla!cdottilde f =2+(-4)+2=0,
logo o fluxo total em S1cup S2 é zero e
integral duplaS1tilde fcdot n1,dS =-integral duplaS2tilde fcdot n2,dS =-(-pi)=pi

Resposta

a) 0
b) integral duplaS1tilde fcdot n1,dS=pi, integral duplaS2tilde fcdot n2,dS=-pi.

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