1.4I Seja uma seqüência convergente, com , e . A partir da definição de limite, mostre que a sequência é limitada. Isto foi usado na demonstração da Propriedade 1.3.7(e).
Passo 1
O enunciado diz que converge para algum e que para todo . Queremos mostrar, a partir da definição de limite, que a sequência é limitada, isto é, existe tal que
Passo 2
Como limntoinftybn = L e Lneq0, escolhemos varepsilon = |L|/2>0. Pela definição de limite, existe N tal que, para todo n>N,
|bn - L| < |L|2
Passo 3
Usando a desigualdade triangular invertida, para n>N temos