1.4I Seja bn uma seqüência convergente, com bn neq 0, forall n, e lim n infty bn neq 0. A partir da definição de limite, mostre que a sequência 1 / bn é limitada. Isto foi usado na demonstração da Propriedade 1.3.7(e).

Passo 1

O enunciado diz que bn converge para algum Lneq0 e que bnneq0 para todo n. Queremos mostrar, a partir da definição de limite, que a sequência 1/bn é limitada, isto é, existe M>0 tal que
|1bn|<= M forall n

Passo 2

Como limntoinftybn = L e Lneq0, escolhemos varepsilon = |L|/2>0. Pela definição de limite, existe N tal que, para todo n>N,
|bn - L| < |L|2

Passo 3

Usando a desigualdade triangular invertida, para n>N temos
|bn| >= |,|L| - |bn-L|,| = |L| - |bn-L| > |L| - |L|2 = |L|2
Logo, para n>N,
|1bn| = 1|bn| < 2|L|

Passo 4

Para os índices n = 1,2,dots,N, o conjunto finito
ll|1/b1r|,dots,l|1/bNr|r
tem máximo, digamos M1. Então, tomando
M = maxlM1,,2|L|r,
obtemos
|1bn|<= M forall n

Resposta

A sequência 1/bn é limitada, pois basta escolher
M = maxlmax1<= n<= Nl|1/bnr|,;2|L|r
de modo que l|1/bnr|<= M para todo n.

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