Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x \cdot \operatorname{arctg}(x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x ,arctg(x),dx
usando a técnica de integração por partes, cuja fórmula é
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = arctg(x), dv = x,dx
Então
du = 11+x^2,dx, v = integral x,dx = x^22

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
integral x,arctg(x),dx = x^22,arctg(x) - integral x^22,11+x^2,dx
Dentro da integral simplificamos
x^21+x^2 = 1 - 11+x^2,
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integral x^22(1+x^2),dx = 12integrall(1 - 11+x^2r)dx = 12l(x - arctg(x)r)

Passo 4

Substituindo de volta, obtemos
integral x,arctg(x),dx = x^22,arctg(x) - 12l(x - arctg(x)r) + C = x^2+12,arctg(x) - x2 + C

Resposta

integral x,arctg(x),dx = x^2+12,arctg(x) - x2 + C

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