Calcule o limite de f(x) conforme indicado.
f(x)=x^1 / x, x mapsto+infty

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto+infty f(x)onde f(x)=x^1/x
O conteúdo aqui é limites que envolvem potência com expoente e base variáveis, resultando numa forma do tipo infty^0. Para resolver, vamos usar a transformação logarítmica, que é padrão nesse caso.

Passo 2

Definimos
y = f(x) = x^1/x
e tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
ln y = lnl(x^1/xr) = ln xx
Agora o problema virou calcular limxtoinftyln y.

Passo 3

Analisamos
limxtoinftyln xx
Essa express~ao `e da forma “ infty/infty”, ent~ao aplicamos a regra de L’H^opital: derivando numerador e denominador, obtemos
limxtoinftyln xx = limxtoinftytfracddx(ln x)tfracddx(x) = limxtoinfty1/x1 = 0
Logo ln yto0 quando xtoinfty.

Passo 4

Se ln yto0, então y = e^ln yto e^0 = 1. Isso significa que
limxtoinftyx^1/x = 1

Resposta

1

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