3.4J Dado um número inteiro positivo k, considere a k-ésima função de Bessel de 1 a espécie Jk(x), definida por:
Jk(x)=sumn=0^infty (-1)^nn!(n+k)!(x2)^2 n+k
(a) mostre que o erro cometido ao aproximar J0(x), 0 <= x <= 1, pelo polinômio 1-x^24+x^464- x^62304, é inferior a 10^-5;
(b) mostre que J0^prime=-J1 e integral x^3 J2(x) d x=x^3 J3(x);
(c) esboce os gráficos das somas parciais S3(x) de J0(x) e de J1(x), no intervalo 0 <= x <= 2.

Passo 1

O enunciado define a função de Bessel de primeira espécie
Jk(x)=sumn=0^infty(-1)^nn!,(n+k)!l(x2r)^2n+k
e pede:
(a) estimar o erro ao truncar J0(x) em ordem 3 para 0<= x<=1;
(b) mostrar que ,J0'(x)=-J1(x) e integral x^3J2(x),dx=x^3J3(x)+C;
(c) esboçar S3(x) de J0 e de J1 em [0,2].

Passo 2

Para (a) usamos o critério da série alternada: em J0(x) temos
an=(x/2)^2n(n!)^2, J0(x)=sumn=0^infty(-1)^nan
O polinômio até n=3 corresponde a
S3(x)=1-x^24+x^464-x^62304
O resto em valor absoluto satisfaz
l|R3(x)r|<= a4 =(x/2)^8(4!)^2 <=1(2^8)(4!)^2 =1147456approx6,8times10^-6 <10^-5

Passo 3

Para mostrar ,J0'(x)=-J1(x), diferenciamos termo a termo:
J0(x)=sumn=0^infty(-1)^n(n!)^2l(x2r)^2n,
J0'(x) =sumn=1^infty(-1)^n(n!)^2;2n;l(x2r)^2n-112 =-summ=0^infty(-1)^mm!,(m+1)!l(x2r)^2m+1 =-J1(x)

Passo 4

Para integral x^3J2(x),dx, usamos a identidade de derivada
J3'(x)=J2(x)-3xJ3(x)
Defina F(x)=x^3J3(x). Então
F'(x)=3x^2J3(x)+x^3J3'(x) =3x^2J3(x)+x^3l(J2(x)-tfrac3xJ3(x)r) =x^3J2(x)
Logo
integral x^3J2(x),dx =x^3J3(x)+C

Passo 5

As somas parciais de ordem 3 são:
S3^(0)(x) =1-x^24+x^464-x^62304, S3^(1)(x) =x2-x^316+x^5384-x^718432
Em [0,2]:
  • S3^(0)(0)=1 decresce suavemente até cerca de 0,22 em x=2, com curvatura negativa.
  • S3^(1)(0)=0 cresce de modo quase linear até cerca de 0,58 em x=2.

Resposta

(a) Pelo critério da série alternada,
l|J0(x)-S3(x)r|<= a4=1147456<10^-5
(b) Diferenciando a série de J0 e reindexando obtém-se
J0'(x)=-J1(x)
Usando a identidade J3'=J2-3J3/x segue
integral x^3J2(x),dx=x^3J3(x)+C
(c)
S3^(0)(x)=1-x^24+x^464-x^62304, S3^(1)(x)=x2-x^316+x^5384-x^718432
com os esboços descritos acima em [0,2].

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