5.4J Imitando o método utilizado no exercício precedente, encontre a solução geral da edo:
x y d x+(x y^4-2 x^2) d y=0, x>0, y>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,y,dx+l(x,y^4-2,x^2r),dy=0, x>0,;y>0,
que na forma M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 tem
M(x,y)=x,y, N(x,y)=x,y^4-2,x^2
Queremos a solução geral. Primeiro testamos se é exata, vendo que
partial Mpartial y =partialpartial y(x,y) =x, partial Npartial x =partialpartial xl(x,y^4-2,x^2r) =y^4-4,x,
logo não são iguais e a equação não é exata. Teremos que achar um fator integrante.

Passo 2

Para buscar um fator integrante mu que dependa só de y, usamos a condição
partial N/partial x-partial M/partial yM =(y^4-4x)-xx,y =y^4-5xx,y,
mas esse quociente não é função só de y. Em vez disso, reescrevemos a EDO isolando dy/dx:
dydx =-x,yx,y^4-2x^2 =-yy^4-2x
Multiplicando ambos os lados por dx e rearranjando, obtemos
y,dx+(y^4-2x),dy=0
Aqui definimos
M1(x,y)=y, N1(x,y)=y^4-2x,
e então
partial N1partial x-partial M1partial y =(-2)-1=-3
Como
partial N1/partial x - partial M1/partial yM1 =-3y,
vemos que esse quociente depende apenas de y, então existe mu(y).

Passo 3

O fator integrante satisfaz
mu'(y)mu(y)=-3y Longrightarrow mu(y)=e^integral -3/y,dy=y^-3
Multiplicando a equação y,dx+(y^4-2x),dy=0 por y^-3
y^-2,dx+l(y^1-2x,y^-3r),dy=0
Chamemos
widetilde M(x,y)=y^-2, widetilde N(x,y)=y-2x,y^-3
Confirmamos que é exata, pois
partial widetilde Mpartial y =-2,y^-3, partial widetilde Npartial x =-2,y^-3

Passo 4

Existe uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x =widetilde M(x,y)=y^-2
Integrando em x, tratando y como constante,
Psi(x,y)=integral y^-2,dx =x,y^-2+h(y)
Para achar h(y), impomos
partial Psipartial y =-2x,y^-3+h'(y) overset!=widetilde N(x,y)=y-2x,y^-3
Comparando ambos os lados vê-se que h'(y)=y, logo
h(y)=integral y,dy=y^22
Portanto
Psi(x,y) =x,y^-2+y^22

Passo 5

A solução geral fica dada implicitamente por
Psi(x,y)=C Longrightarrow x,y^-2+y^22=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x,y^-2+y^22=C

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