5.4J Imitando o método utilizado no exercício precedente, encontre a solução geral da edo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que na forma
tem
Queremos a solução geral. Primeiro testamos se é exata, vendo que
logo não são iguais e a equação não é exata. Teremos que achar um fator integrante.
Passo 2
Para buscar um fator integrante
que dependa só de
, usamos a condição
mas esse quociente não é função só de
. Em vez disso, reescrevemos a EDO isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, obtemos
Aqui definimos
e então
Como
vemos que esse quociente depende apenas de
, então existe
.
Passo 3
O fator integrante satisfaz
Multiplicando a equação
por
dá
Chamemos
Confirmamos que é exata, pois
Passo 4
Existe uma função potencial
tal que
Integrando em
, tratando
como constante,
Para achar
, impomos
Comparando ambos os lados vê-se que
, logo
Portanto
Passo 5
A solução geral fica dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária.