Calcule os seguintes limites:
lim x +infty sen 1xarctg 1x;

Passo 1

O enunciado pede
limxto+inftysinl(tfrac1xr)arctanl(tfrac1xr)
O conteúdo envolvido são limites do tipo 0/0 quando xto+infty (pois 1/xto0), e podemos usar mudança de variável e a regra de L’Hôpital para resolver.

Passo 2

Fazemos a substituição
t=1x,
logo xto+infty equivale a tto0^+. A expressão fica
limtto0^+sin tarctan t,
que é um caso de indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital: derivamos numerador e denominador em relação a t. Temos
(sin t)'=cos t, (arctan t)'=11+t^2
Portanto o limite passa a ser
limtto0^+cos ttfrac11+t^2 =limtto0^+cos t,(1+t^2)

Passo 4

Ao levar tto0^+ em cos t,(1+t^2) obtemos
cos0,(1+0^2)=1cdot1=1

Resposta

1

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