Exercício 11. Mostre a seguinte versão da Desigualdade de Morrey. Seja um aberto limitado . Para , com , tem-se e, para quaisquer e ,
onde depende apenas de e de , mas não de nem de .
Dica: Lembre que a oscilação de em um subconjunto é definida por
Passo 1
O enunciado trata da “Desigualdade de Morrey” em dimensão . Temos um aberto limitado com e uma função
Queremos mostrar que tem representação contínua de Hölder de expoente
isto é, , e provar a estimativa local: para todo xinOmega e todo r>0,
undersetOmegacap Br(x)osc u ;<=; c,r^1-dp,|nabla u|L^pl(Omegacap Br(x)r),
once c>0 depende só de p e d. Vamos usar o Teorema de Poincaré em domínios Lipschitz (a interseção Omegacap Br(x) tem constante uniforme) e um desvio entre valor e média para controlar a oscilação.
Passo 2
Seja F=Omegacap Br(x). Pela desigualdade de Poincaré num domínio Lipschitz de diâmetro O(r) existe constante CP=CP(p,d) tal que, para toda vin W^1,p(F),