Exercício 11. Mostre a seguinte versão da Desigualdade de Morrey. Seja Omega subseteq R^d um aberto limitado com partial Omega in C^1. Para u in W0^1, p(Omega), com p>d, tem-se u in C^0,1-dp(barOmega) e, para quaisquer x in Omega e r>0,
undersetOmega cap Br(x)osc u <= c r^1-dp|nabla u|L^p(Br(x))
onde c>0 depende apenas de p e de d, mas não de u nem de r.
Dica: Lembre que a oscilação de u em um subconjunto A subseteq Omega é definida por
undersetAosc u:=sup u(x)-u(y) ; x, y in A

Passo 1

O enunciado trata da “Desigualdade de Morrey” em dimensão d. Temos um aberto limitado OmegasubsetR^d com partialOmegain C^1 e uma função
uin W^1,p0(Omega), p>d
Queremos mostrar que u tem representação contínua de Hölder de expoente
alpha = 1-dp,
isto é, uin C^0,alpha(Omega), e provar a estimativa local: para todo xinOmega e todo r>0,
undersetOmegacap Br(x)osc u ;<=; c,r^1-dp,|nabla u|L^pl(Omegacap Br(x)r),
once c>0 depende só de p e d. Vamos usar o Teorema de Poincaré em domínios Lipschitz (a interseção Omegacap Br(x) tem constante uniforme) e um desvio entre valor e média para controlar a oscilação.

Passo 2

Seja F=Omegacap Br(x). Pela desigualdade de Poincaré num domínio Lipschitz de diâmetro O(r) existe constante CP=CP(p,d) tal que, para toda vin W^1,p(F),
gl(1|F|integralFl|v(xi)-vFr|^p,dxigr)^!1/p ;<=;CP,r, gl(1|F|integralFl|nabla v(xi)r|^p,dxigr)^!1/p,
onde
vF ;=;1|F|integralF v(xi),dxi
Além disso, para qualquer y,zin F,
l|v(y)-v(z)r| ;<=;supFv ;-;infFv ;<=;2,supFl|v-vFr| ;<=;2,|F|^-1/p,|v-vF|L^p(F)

Passo 3

Aplicando o item anterior a e combinando com Poincaré, obtemos
Como e seu volume satisfaz , temos . Logo
que é a estimativa local pedida (com ).

Passo 4

Para ver que uin C^0,alpha(Omega) com alpha=1-dp, seja x,yinOmega e tome r=|x-y|. Então x,yinOmegacap Br(x) e a desigualdade do passo anterior dá
|u(x)-u(y)|;<=; undersetOmegacap Br(x)osc u ;<=; c,r^1-tfracdp,|nabla u|L^p(Omega),
o que mostra a continuidade de Hölder global com expoente alpha=1-dp.

Resposta

Demonstra-se usando Poincaré em F=Omegacap Br(x) e o fato de
supF u-infF u <=2,|F|^-1/p,|u-uF|L^p(F),
chegando a
undersetOmegacap Br(x)oscu <= c,r^1-tfrac d p,|nabla u|L^p(Omegacap Br(x)),
e consequentemente uin C^0,1-tfrac d p(overlineOmega).

Exercícios relacionados