1.4J Mostre que lim n infty[sen(pi2^2) cdot sen(pi3^2) cdot sen(pi4^2) cdot ldots cdot sen(pin^2)]=0. (não use o produto de limites!)

Passo 1

O enunciado pede que mostremos
limntoinfty gl[prodk=2^nsin!l(tfracpik^2r)gr] =0
O conteúdo é limite de sequência definida por produto e vamos usar a desigualdade sin x<= x para x>=0 junto com o teorema do confronto.

Passo 2

Para cada k>=2 temos tfracpik^2>=0, logo
sin!l(tfracpik^2r)<= tfracpik^2
Como todos os fatores do produto são não negativos, podemos aplicar essa desigualdade em cada termo.

Passo 3

Assim
prodk=2^nsin!l(tfracpik^2r) <= prodk=2^npik^2 = pi^,n-12^2cdot3^2cdots n^2 = pi^,n-1(n!)^2
Definimos a sequência de comparação
an = pi^,n-1(n!)^2

Passo 4

Mostramos que anto0. Para n>=4 vale
n! = 1cdot2cdots n >= l(tfracn2r)^n/2,
pois entre os n fatores, pelo menos n/2 são >= n/2. Então
(n!)^2 >= l(tfracn2r)^n ;Longrightarrow; an <= pi^,n-1(n/2)^n = 1pi,l(tfrac2pinr)^n
Como tfrac2pin<1 a partir de n>2 e limntoinfty(c/n)^n=0 para constante c, segue limntoinftyan=0.
Pelo teorema do confronto temos
0 <= prodk=2^nsin!l(tfracpik^2r) <= an
e, portanto,
limntoinftyprodk=2^nsin!l(tfracpik^2r)=0

Resposta

0

Exercícios relacionados