Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int \operatorname{sec} ^{3}(x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec^3(x),dx
usando a técnica de integração por partes. Vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
e de reescrever tan^2(x) em termos de sec^2(x).

Passo 2

Escolhemos
u = sec(x), dv = sec^2(x),dx
então
du = sec(x)tan(x),dx, v = tan(x)

Passo 3

Aplicando integral u,dv = u,v - integral v,du, obtemos
integral sec^3(x),dx = sec(x)tan(x) - integral tan(x),l[sec(x)tan(x)r],dx = sec(x)tan(x) - integral sec(x)tan^2(x),dx

Passo 4

Usando tan^2(x)=sec^2(x)-1, a integral vira
integral sec^3(x),dx = sec(x)tan(x) - integral sec(x)l(sec^2(x)-1r),dx = sec(x)tan(x) - integral sec^3(x),dx + integral sec(x),dx
Reagrupe o termo integral sec^3(x),dx:
2integral sec^3(x),dx = sec(x)tan(x) + integral sec(x),dx

Passo 5

Sabendo que
integral sec(x),dx = lnl|sec(x)+tan(x)r| + C,
substituímos na expressão acima.

Passo 6

Dividindo por 2, concluímos
integral sec^3(x),dx = 12,sec(x)tan(x) + 12,lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

Resposta

boxed integral sec^3(x),dx = 12,sec(x)tan(x) + 12,lnl|sec(x)+tan(x)r| + C

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