Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int \operatorname{cossec}^{3}(x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral csc^3(x),dx
usando integração por partes. Vamos lembrar que csc x=1/sin x, que usaremos a identidade trigonométrica
cot^2(x)=csc^2(x)-1
e que precisaremos também da primitiva conhecida de csc x.

Passo 2

Escolhemos
u = csc x e dv = csc^2 x,dx
Então
du = -csc x,cot x,dx
e
v = integral csc^2 x,dx = -cot x

Passo 3

Aplicando a fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
temos
integral csc^3 x,dx = csc xl(-cot xr) - integral l(-cot xr)l(-csc x,cot xr),dx = -csc x,cot x ;-;integral csc x,cot^2 x,dx

Passo 4

Usando cot^2 x=csc^2 x-1, escrevemos
integral csc^3 x,dx = -csc x,cot x - integral csc x,l(csc^2 x-1r),dx = -csc x,cot x - integral csc^3 x,dx + integral csc x,dx

Passo 5

Isolando integral csc^3 x,dx e dividindo por 2, obtemos
2integral csc^3 x,dx = -csc x,cot x + integral csc x,dx Longrightarrow integral csc^3 x,dx = -tfrac12,csc x,cot x ;+;tfrac12integral csc x,dx

Passo 6

Usamos a primitiva conhecida
integral csc x,dx = -lnllvert csc x + cot xrrvert + C
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integral csc^3 x,dx = -12,csc x,cot x -12,lnllvert csc x + cot xrrvert + C

Resposta

-12,csc x,cot x -12,lnllvert csc x + cot xrrvert + C

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