4.4J Supondo que alpha e beta são constantes, u e v são campos escalares e F e G são campos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial:
(a) nabla(alpha u+beta v)=alpha nabla u+beta nabla v
(b) nabla(u v)=v nabla u+u nabla v
(c) nabla(u / v)=(1 / v^2)[v nabla u-u nabla v]
(d) div(alpha F+beta G)=alpha div F+beta div G
(e) div(rot(F))=0
(f) div(F times G)=G cdot rot(F)-F cdot rot(G)
(g) rot(u F)=u rot(F)+nabla u times F
(h) rot(alpha F+beta G)=alpha rot(F)+beta rot(G)
(i) div(v nabla u)=v De<a u+nabla u cdot nabla v
(j) div(u F)=nabla u cdot F+u div(F).
Usando (e) conclua que não existe um campo vetorial F com rotacional x i+y j+z k.

Passo 1

O enunciado pede para deduzir várias fórmulas de cálculo vetorial envolvendo os operadores gradiente ( nabla), divergente ( nablacdot) e rotacional ( nablatimes). Vamos usar as definições em coordenadas cartesianas e a linearidade e as regras de derivação parcial (produto, quociente e igualdade de derivadas mistas).

Passo 2

Definimos
nabla = l(partialpartial x,,partialpartial y,,partialpartial zr), divvec F = partial Fxpartial x+partial Fypartial y+partial Fzpartial z, rotvec F = nablatimesvec F
Como a derivada parcial é linear, para quaisquer constantes alpha,beta, campos escalares u,v e campos vetoriais vec F,vec G temos por componente
partialpartial x(alpha u+beta v) =alphapartial upartial x+betapartial vpartial x,
o que implica
nabla(alpha u+beta v)=alphanabla u+betanabla v,
div(alphavec F+betavec G) =alpha,divvec F+beta,divvec G,
rot(alphavec F+betavec G) =alpha,rotvec F+beta,rotvec G

Passo 3

Para o gradiente do produto e do quociente usamos a regra do produto e do quociente em derivadas parciais:
partial(uv)partial x = u,partial vpartial x+v,partial upartial x Longrightarrow nabla(uv)=v,nabla u+u,nabla v,
partialpartial xl(uvr) =v,partial u/partial x - u,partial v/partial xv^2 Longrightarrow nablal(uvr) =v,nabla u - u,nabla vv^2

Passo 4

Para o rotacional de um escalar vezes um campo vetorial usamos a definição por determinante e a regra do produto em cada termo:
rot(uvec F) =nablatimes(uvec F) =det i & j & k partialx & partialy & partialz uFx & uFy & uFz =u,(nablatimesvec F)+(nabla u)timesvec F

Passo 5

A divergente do rotacional de qualquer campo é
div(rotvec F) =partialpartial xl(partialyFz-partialzFyr) +partialpartial yl(partialzFx-partialxFzr) +partialpartial zl(partialxFy-partialyFxr)
Pela igualdade das derivadas mistas ( partialxpartialy=partialypartialx, etc.), cada termo cancela, dando
div(rotvec F)=0

Passo 6

Para a divergente do produto vetorial usamos componentes e recolhemos termos:
vec Ftimesvec G =(FyGz - FzGy), i+dots
div(vec Ftimesvec G) =partialpartial x(FyGz - FzGy)+dots = vec Gcdot(nablatimesvec F)-vec Fcdot(nablatimesvec G)

Passo 7

Usando regra do produto em cada componente, obtemos
div(vnabla u) =nabla vcdotnabla u + v,underbrace(nablacdotnabla u)=De<a u =v,De<a u+nabla ucdotnabla v,
div(uvec F) =nabla ucdotvec F + u,divvec F

Passo 8

Suponha, por absurdo, que exista vec F com
rotvec F =;x, i+y, j+z, k
Aplicando divergente em ambos os lados e usando resultado de (e), o lado esquerdo vale 0 e o direito vale
div(x, i+y, j+z, k) =partial xpartial x+partial ypartial y+partial zpartial z =1+1+1=3neq0
É contradição.

Resposta

Não existe campo vetorial vec F cujo rotacional seja x, i+y, j+z, k.

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