4.4J Supondo que e são constantes, e são campos escalares e e são campos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .
Usando (e) conclua que não existe um campo vetorial com rotacional .
Passo 1
O enunciado pede para deduzir várias fórmulas de cálculo vetorial envolvendo os operadores gradiente (), divergente () e rotacional (). Vamos usar as definições em coordenadas cartesianas e a linearidade e as regras de derivação parcial (produto, quociente e igualdade de derivadas mistas).
Passo 2
Definimos
Como a derivada parcial é linear, para quaisquer constantes , campos escalares e campos vetoriais temos por componente
o que implica
Passo 3
Para o gradiente do produto e do quociente usamos a regra do produto e do quociente em derivadas parciais:
Passo 4
Para o rotacional de um escalar vezes um campo vetorial usamos a definição por determinante e a regra do produto em cada termo: