Sabendo-se que g(-1)=2, f(2)=-3, g^prime(-1)=-13 e f^prime(2)=6, determine as equações das retas tangente e normal à curva h(x)=f(g(x)), em x=-1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função h(x)=f(g(x)) e os valores
;g(-1)=2,;f(2)=-3,;g'(-1)=-tfrac13 e ;f'(2)=6.
Queremos as retas tangente e normal à curva y=h(x) no ponto de abscissa x=-1. Para isso vamos: aplicar a regra da cadeia para achar h'(-1) e depois usar a forma ponto-ângulo da reta.

Passo 2

Calculamos a ordenada do ponto em que queremos as retas substituindo x=-1 em h:
h(-1)=fl(g(-1)r)=f(2)=-3
Logo o ponto de tangência e normal é l(-1,,-3r).

Passo 3

Usamos a regra da cadeia para derivar h(x):
h'(x)=f'l(g(x)r),cdot g'(x)
Em x=-1 fica
h'(-1)=f'l(g(-1)r)cdot g'(-1)=f'(2)cdotl(-tfrac13r)=6cdotl(-tfrac13r)=-2

Passo 4

A reta tangente em l(x0,y0r)=(-1,-3) de coeficiente angular mt=h'(-1)=-2 é dada por
y - y0 = mt,(x - x0)
ou seja
y + 3 = -2,(x + 1)
que, ao simplificar, resulta em
y = -2x - 5

Passo 5

A reta normal tem coeficiente angular mn = -tfrac1mt = -tfrac1-2 = tfrac12. Usando o mesmo ponto (-1,-3):
y + 3 = tfrac12,(x + 1)
e, ao simplificar, obtemos
y = tfrac12,x - tfrac52

Resposta

Reta tangente: y = -2x - 5
Reta normal: y = tfrac12,x - tfrac52

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