Determine a representação da função
f(x)=ccc 0 & se & -pi<x <= 0 1, & se & 0<x <= pi
em série de Fourier complexa.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2pi
f(x)= 0, & -pi < x <= 0, 1, & 0 < x <= pi,
e pede sua representação em série de Fourier complexa. Para isso usamos a fórmula dos coeficientes
cn = 12pi integral-pi^pi f(x),e^-inx,dx,
de modo que
f(x) = sumn=-infty^infty cn,e^inx

Passo 2

Para nneq 0, como f(x)=0 em -pi<x<=0 e f(x)=1 em 0<x<=pi, temos
cn = 12pi integral0^pi 1cdot e^-inx,dx = 12pi[e^-inx-in]0^pi = 12pi cdot e^-inpi-1-in

Passo 3

Como e^-inpi=(-1)^n, obtemos para nneq 0
cn = 12pi,(-1)^n -1-in = (-1)^n -12pi,(-in) = (-1)^n -12pi i,n

Passo 4

O coeficiente de média c0 é
c0 = 12pi integral-pi^pi f(x),dx = 12pi integral0^pi1,dx = 12pi,pi = 12

Passo 5

Reunindo, a série de Fourier complexa fica
f(x) = sumn=-infty^infty cn,e^inx,
com
c0 = tfrac12, cn = (-1)^n -12pi i,n (nneq 0)

Resposta

boxedf(x) = 12 + sumn neq 0 (-1)^n - 12pi i n e^i n x {{-- representando a série de Fourier complexa da função dada. --}}

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