Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo n0 para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que n0 :
(h) n^2 <= 2^n

Passo 1

O enunciado (item (h)) pede encontrar o menor inteiro positivo n0 tal que a desigualdade
n^2<= 2^n
seja verdadeira para todo inteiro n>= n0, e então provar isso por indução estendida.

Passo 2

Testando valores de n:
  • Para n=1:
1^2=1<= 2=2^1,
verdadeiro.
  • Para n=2:
2^2=4<= 4=2^2,
verdadeiro.
  • Para n=3:
3^2=9not<= 8=2^3,
falso.
  • Para n=4:
4^2=16<= 16=2^4,
verdadeiro.
Logo o primeiro inteiro a partir do qual a desigualdade passa a valer para todo n>= esse valor é
n0=4

Passo 3

Base da indução: verificar P(4). De fato,
4^2=16<= 16=2^4,
logo P(4) é verdadeira.

Passo 4

Passo indutivo: seja k>=4 e assuma a hipótese indutiva
k^2<= 2^k
Queremos mostrar
(k+1)^2<= 2^,k+1
Observe que
(k+1)^2=k^2+2k+1<= 2^k+2k+1,
então basta provar
2^k+2k+1<= 2^,k+1
Como k>=4, temos
2k+1<= 9<= 16<= 2^k,
portanto
2^k+2k+1<= 2^k+2^k=2^,k+1
Conclui-se assim que
(k+1)^2<= 2^,k+1,
fechando o passo indutivo.

Resposta

O menor inteiro que faz a sentença verdadeira é
n0=4,
e, por indução a partir de 4, segue que n^2<=2^n para todo inteiro n>=4.

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