Em cada caso abaixo, encontre o primeiro inteiro positivo
para o qual a sentença é verdadeira e, usando a extensão do Método de Indução, prove que a sentença matemática é verdadeira para qualquer número inteiro maior do que
:
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado (item (h)) pede encontrar o menor inteiro positivo
tal que a desigualdade
seja verdadeira para todo inteiro
, e então provar isso por indução estendida.
Passo 2
Testando valores de
:
- Para
:
verdadeiro.
- Para
:
verdadeiro.
- Para
:
falso.
- Para
:
verdadeiro.
Logo o primeiro inteiro a partir do qual a desigualdade passa a valer para todo esse valor é
Logo o primeiro inteiro a partir do qual a desigualdade passa a valer para todo
Passo 3
Base da indução: verificar
. De fato,
logo
é verdadeira.
Passo 4
Passo indutivo: seja
e assuma a hipótese indutiva
Queremos mostrar
Observe que
então basta provar
Como
, temos
portanto
Conclui-se assim que
fechando o passo indutivo.
Resposta
O menor inteiro que faz a sentença verdadeira é
e, por indução a partir de
, segue que
para todo inteiro
.