Exercício 15. Neste problema, indicamos um método alternativo ao Teorema de Lax-Milgram para provar a existência de soluções fracas para equações diferenciais parciais como às que estudamos em aula (e até outras mais gerais). Considere
Omega subset R^d um aberto limitado com fronteira
partial Omega in C^1 .
(i) Dada uma função
f in L^2(Omega) , seja
J: H0^1(Omega) longrightarrow R o func(ional (não-linear) definido por
J(u):=integralOmega(12|nabla u(x)|^2-f(x) u(x)) d x
Suponhamos que
u é um minimizante de
J em
H0^1(Omega) , isto é, suponhamos que
J(u) <= J(v) , para qualquer
v in H0^1(Omega) . Prove que
u é uma solução fraca do problema
l -De<a u=f em Omega, u=0 em partial Omega
Dica: Fixados
varepsilon>0 e
v in H0^1(Omega) , utilize que
J(u+varepsilon v)-J(u)varepsilon >= 0
Simplificando a expressão e fazendo
varepsilon longrightarrow 0 , obtemos uma desigualdade, semelhante à igualdade que define soluções fracas, válida para qualquer
v in H0^1(Omega) . Conclua observando que a desigualdade obtida pode ser aplicada com a função
-v no lugar de
v .
(ii) Generalize o item anterior, minimizando o funcional
J(u):=integralOmega(12lang<= A(x) nabla u(x), nabla u(x)rang<=-f(x) u(x)) d x
no espaço de Sobolev
H0^1(Omega) . Mais precisamente, prove que minimizantes são soluções fracas da equação linear
-div(A(x) nabla u(x))=f(x) em Omega, u=0 em partial Omega
(iii) Generalize ainda mais e mostre que minimizantes de
J(u):=integralOmega L(nabla u(x), u(x), x) d x
onde
L: R^d times Omega longrightarrow R é uma função suave, denominada o Lagrangiano do sistema, são soluções fracas de
-divx(partialp L(nabla u(x), u(x), x))=partialz L(nabla u(x), u(x), x) em Omega, u=0 em partial Omega
Este exercício de fato mostra uma maneira alternativa de provar a existência de soluções. Uma vez que se consegue mostrar a existência de minimizantes para o funcional, tipicamente através de técnicas do cálculo de variações, automaticamente este exercício mostra que tal minimizante é uma solução do respectivo problema. Este é estratégia é conhecida como método (ou técnica) variacional.