5.4K Cada edo dada abaixo tem coeficientes homogêneos. Encontre a solução geral em cada caso:
(x^2+y^2) d x+x y d y

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
(x^2+y^2),dx + x,y,dy = 0
onde M(x,y)=x^2+y^2 e N(x,y)=x,y são homogêneas de grau 2. Vamos usar o método de substituição y=vx para resolver equações homogêneas.

Passo 2

Reescrevemos em forma de derivada:
dydx = -MN = -x^2+y^2x,y
Com y=vx temos
dydx = v + xdvdx e y^2=v^2x^2

Passo 3

Substituindo na equação de derivada resulta
v + xdvdx = -x^2+v^2x^2xcdot v x = -1+v^2v
Rearranjando e separando variáveis:
xdvdx = -1+2v^2v, v1+2v^2,dv = -1x,dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral v1+2v^2,dv = 14lnl(1+2v^2r), integral -1x,dx = -lnlvert xrvert
Portanto
14lnl(1+2v^2r) = -lnlvert xrvert + C ;Longrightarrow; lnl(1+2v^2r) + 4lnlvert xrvert = C'

Passo 5

Voltando a variável original v=tfracyx e exponenciando:
x^4l(1+2l(tfracyxr)^2r)=C' ;Longrightarrow; x^4 + 2x^2y^2=C

Resposta

A solução geral é
x^4 + 2x^2y^2 = C,
com C constante de integração.

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