Determine a direção e o sentido em que a função f(x, y) dada cresce mais rapidamente, no ponto P dado. Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
f(x, y)=raiz1+x^2+y^2, P=(1, 12).

Passo 1

O enunciado pede a direção em que a função
f(x,y)=raiz1+x^2+y^2
cresce mais depressa em P=(1,tfrac12) e também a direção de crescimento mais lento (decrescimento mais rápido). O conteúdo envolvido é o vetor gradiente, pois ele aponta a direção de máxima taxa de variação de f.

Passo 2

Vamos obter o gradiente de f. Como
f(x,y) = (1+x^2+y^2)^1/2,
usamos derivada de potência e cadeado para achar cada componente:
partial fpartial x = 12 (1+x^2+y^2)^-1/2cdot 2x = xraiz1+x^2+y^2,
partial fpartial y = yraiz1+x^2+y^2
Logo
nabla f(x,y) = l(xraiz1+x^2+y^2,,yraiz1+x^2+y^2r)

Passo 3

Agora avaliamos nabla f em P=(1,tfrac12). Primeiro calculemos o denominador:
raiz1+1^2+(tfrac12)^2 = raiz1+1+tfrac14 = raiztfrac94 = tfrac32
Então
nabla f(1,tfrac12) = l(13/2,,tfrac123/2r) = l(tfrac23,tfrac13r)

Passo 4

A direção de crescimento mais rápido é a do próprio gradiente. Para expressá-la como vetor unitário, normalizamos l(tfrac23,tfrac13r). Seu comprimento é
raizl(tfrac23r)^2+l(tfrac13r)^2 = raiztfrac49+tfrac19 = raiztfrac59 = tfracraiz53
Dividindo cada componente por tfracraiz53, obtemos o vetor unitário
usubida = l(tfrac23tfracraiz53,,tfrac13tfracraiz53r) = l(tfrac2raiz5,tfrac1raiz5r)

Passo 5

A direção de decrescimento mais rápido (sentido de maior queda) é o sentido oposto ao gradiente. Assim o vetor unitário correspondente é
udescida = -usubida = l(-tfrac2raiz5,-tfrac1raiz5r)

Resposta

Direção de máximo crescimento (unidade): l(tfrac2raiz5,,tfrac1raiz5r).
Direção de máximo decrescimento (unidade): l(-tfrac2raiz5,,-tfrac1raiz5r).

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