Determine a direção e o sentido em que a função
dada cresce mais rapidamente, no ponto
dado. Em que direção e sentido decresce mais rapidamente?
.
Passo 1
O enunciado pede a direção em que a função
cresce mais depressa em
e também a direção de crescimento mais lento (decrescimento mais rápido). O conteúdo envolvido é o vetor gradiente, pois ele aponta a direção de máxima taxa de variação de
.
Passo 2
Vamos obter o gradiente de
. Como
usamos derivada de potência e cadeado para achar cada componente:
Logo
Passo 3
Agora avaliamos
em
. Primeiro calculemos o denominador:
Então
Passo 4
A direção de crescimento mais rápido é a do próprio gradiente. Para expressá-la como vetor unitário, normalizamos
. Seu comprimento é
Dividindo cada componente por
, obtemos o vetor unitário
Passo 5
A direção de decrescimento mais rápido (sentido de maior queda) é o sentido oposto ao gradiente. Assim o vetor unitário correspondente é
Resposta
Direção de máximo crescimento (unidade):
.
Direção de máximo decrescimento (unidade): .
Direção de máximo decrescimento (unidade):