Calcule, sem usar a Regra de L’Hôspital, os seguintes limites:
lim x -pi^+ 3^tg(x2) cdot sen x. [Sugestão: Use o Teorema do Confronto].

Passo 1

O enunciado pede
L=limxto -pi^+ 3^tan(x2) cdot sin x .
Este limite envolve um expo-nencial cujo expoente tan(x2) tende a -infty quando xto -pi^+, e um fator sin x que tende a 0. Vamos usar a identidade de ângulo metade e, em seguida, o Teorema do Confronto para concluir que o produto tende a zero.

Passo 2

Defina
t = tan!l(tfrac x2r)
Sabemos que
sin x = 2tan(tfrac x2)1+tan^2(tfrac x2) = 2t1+t^2
Logo a expressão fica
3^tan(tfrac x2)sin x = 3^tcdot2t1+t^2 = 2t,3^t1+t^2
Quando xto -pi^+, tem-se x/2to -tfracpi2^+, então
t=tan(tfrac x2);longrightarrow;-infty

Passo 3

Vamos estimar o valor absoluto da função
f(x)=2t,3^t1+t^2
Como tto -infty, temos t<0 perto do ponto, logo 3^t<=1. Assim
l|f(x)r| = 2,|t|,3^t1+t^2 = 2(-t),3^t1+t^2 <= 2(-t)1+t^2
Para |t| grande vale
-t1+t^2<= -tt^2=1|t|,
então
l|f(x)r|<= 2|t|

Passo 4

Como tto -infty implica tfrac2|t|to0, pelo Teorema do Confronto segue que l|f(x)r|to0 e, portanto,
f(x)=3^tan(tfrac x2)sin x;longrightarrow;0

Resposta

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