Calcule, sem usar a Regra de L’Hôspital, os seguintes limites: . [Sugestão: Use o Teorema do Confronto].
Passo 1
O enunciado pede
.
Este limite envolve um expo-nencial cujo expoente tende a quando , e um fator que tende a . Vamos usar a identidade de ângulo metade e, em seguida, o Teorema do Confronto para concluir que o produto tende a zero.
Passo 2
Defina
Sabemos que
Logo a expressão fica
Quando , tem-se , então
Passo 3
Vamos estimar o valor absoluto da função
Como , temos perto do ponto, logo . Assim
Para |t| grande vale
-t1+t^2<= -tt^2=1|t|,
então
l|f(x)r|<= 2|t|
Passo 4
Como tto -infty implica tfrac2|t|to0, pelo Teorema do Confronto segue que l|f(x)r|to0 e, portanto,