1.4K Considere a seqüência cujos termos são definidos pela recorrência: a1=5 e an+1=raizan. Estes termos podem ser gerados em uma calculadora, introduzindo-se o número 5 e pressionando-se a tecla raizx.
(a) Descreva o comportamento de an quando n aumenta;
(b) Convença-se de que an=5^1 / 2^n e calcule lim n infty an.

Passo 1

O enunciado define a sequência real an por
a1 = 5, an+1 = raizan
Queremos (a) descrever o comportamento de an quando ntoinfty e (b) mostrar um termo geral e calcular limntoinftyan. Para isso usaremos: inspeção dos primeiros termos, teste de monotonia e limite em recorrência, e prova por indução para o termo geral.

Passo 2

Calculemos alguns termos para ver o padrão:
a1=5, a2=raiz5approx2,236, a3=raizraiz5=5^1/4approx1,495,;dots
Como para todo x>1 vale raiz x<x, segue an+1<an: a sequência é decrescente. Além disso, todos os an>1, pois extraindo raiz de número >1 dá resultado >1. Logo an é decrescente e limitada inferiormente por 1, e portanto converge para algum L>=1. Tomando limite na definição de recorrência:
L=limntoinftyan+1=limntoinftyraizan=raiz L
de onde
L^2 = LLongrightarrow L(L-1)=0Longrightarrow L=1
(descartamos L=0 pois an>1). Assim limntoinftyan=1.

Passo 3

Vamos agora descobrir o termo geral por indução. Conjecturamos
an = 5^1/2^,n-1
Para n=1 temos 5^1/2^0=5^1=5=a1. Suponha que vale para n=k, i.e. ak=5^1/2^,k-1. Então
ak+1 = raizak = raiz5^1/2^,k-1 = 5^1/2^k,
que é exatamente a fórmula para n=k+1. Assim, por indução,
boxedan = 5^1/2^,n-1para todo n>=1

Passo 4

Usando o termo geral, o limite é
limntoinftyan = limntoinfty5^1/2^,n-1 =5^0 =1

Resposta

(a) A sequência an é decrescente, fica sempre acima de 1 e converge para 1.
(b) O termo geral é
an = 5^1/2^,n-1
e
limntoinftyan = 1

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