1.4K Considere a seqüência cujos termos são definidos pela recorrência:
e
. Estes termos podem ser gerados em uma calculadora, introduzindo-se o número 5 e pressionando-se a tecla
.
(a) Descreva o comportamento de
quando
aumenta;
(b) Convença-se de que
e calcule
.
(a) Descreva o comportamento de
(b) Convença-se de que
Passo 1
O enunciado define a sequência real
por
Queremos (a) descrever o comportamento de
quando
e (b) mostrar um termo geral e calcular
. Para isso usaremos: inspeção dos primeiros termos, teste de monotonia e limite em recorrência, e prova por indução para o termo geral.
Passo 2
Calculemos alguns termos para ver o padrão:
Como para todo
vale
, segue
: a sequência é decrescente. Além disso, todos os
, pois extraindo raiz de número >1 dá resultado >1. Logo
é decrescente e limitada inferiormente por
, e portanto converge para algum
. Tomando limite na definição de recorrência:
de onde
(descartamos
pois
). Assim
.
Passo 3
Vamos agora descobrir o termo geral por indução. Conjecturamos
Para
temos
. Suponha que vale para
, i.e.
. Então
que é exatamente a fórmula para
. Assim, por indução,
Passo 4
Usando o termo geral, o limite é
Resposta
(a) A sequência
é decrescente, fica sempre acima de
e converge para
.
(b) O termo geral é
(b) O termo geral é
e