Q 30 Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
(\int x^{2} \operatorname{sen}(x) \mathrm{d} x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2sin(x),dx
usando a técnica de integração por partes, cujo teorema diz que, para funções u e v diferenciáveis,
integral u,dv = u,v - integral v,du
Vamos aplicar essa fórmula duas vezes, pois o grau de x em x^2 diminui a cada aplicação.

Passo 2

Escolhemos
u = x^2, dv = sin(x),dx
Logo
du = 2x,dx, v = integral sin(x),dx = -cos(x)
Substituindo na fórmula de partes:
integral x^2sin(x),dx = u,v - integral v,du = -x^2cos(x) - integral l(-cos(x)r),(2x,dx) = -x^2cos(x) + 2integral xcos(x),dx

Passo 3

Agora precisamos calcular
integral xcos(x),dx
novamente por partes. Tomamos
u = x, dv = cos(x),dx
então
du = dx, v = integral cos(x),dx = sin(x)
Assim,
integral xcos(x),dx = u,v - integral v,du = xsin(x) - integral sin(x),dx = xsin(x) + cos(x)

Passo 4

Voltando à integral original, substituímos o resultado de integral xcos(x),dx:
integral x^2sin(x),dx = -x^2cos(x) + 2l(xsin(x) + cos(x)r) + C
Fazendo a expansão, obtemos:
-x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C

Resposta

boxedintegral x^2sin(x),dx = -x^2cos(x) + 2xsin(x) + 2cos(x) + C

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