Seja uma caixa sem tampa, com formato de um bloco retangular, com base quadrada e volume de 10 m^3. Quais as dimensões da caixa para que ela tenha área superficial mínimo?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma caixa sem tampa, com base quadrada de lado x e altura h, cujo volume é 10, m^3. O objetivo é minimizar a área da superfície externa (fundo mais as quatro laterais). Vamos usar cálculo de otimização: expressar a área em função de x usando a restrição do volume e depois encontrar o mínimo.

Passo 2

A restrição de volume é
x^2,h = 10
Isolando h, obtemos
h = 10x^2

Passo 3

A área superficial A (sem tampa) é a soma da área do fundo ( x^2) com a área das quatro laterais ( 4 retângulos de base x e altura h):
A(x) = x^2 + 4,x,h
Substituindo h de acordo com a restrição do volume,
A(x) = x^2 + 4,x;10x^2 = x^2 + 40x

Passo 4

Para achar o valor de x que minimiza A(x), calculamos a derivada e igualamos a zero:
dAdx = 2x - 40,x^-2
Fazendo dAdx=0,
2x - 40x^2 = 0 Longrightarrow 2x^3 = 40 Longrightarrow x^3 = 20 Longrightarrow x = raiz[3]20

Passo 5

Com x = raiz[3]20, encontramos a altura:
h = 10x^2 = 10l(raiz[3]20r)^2 = 10,20^-tfrac23
Numericamente,
x approx 2,714 m, h approx 1,358 m

Resposta

O lado da base deve valer
x = raiz[3]20 m
e a altura
h = 10l(raiz[3]20r)^2 m

Exercícios relacionados