Seja uma caixa sem tampa, com formato de um bloco retangular, com base quadrada e volume de
. Quais as dimensões da caixa para que ela tenha área superficial mínimo?
Passo 1
O enunciado diz que temos uma caixa sem tampa, com base quadrada de lado
e altura
, cujo volume é
,
. O objetivo é minimizar a área da superfície externa (fundo mais as quatro laterais). Vamos usar cálculo de otimização: expressar a área em função de
usando a restrição do volume e depois encontrar o mínimo.
Passo 2
A restrição de volume é
Isolando
, obtemos
Passo 3
A área superficial
(sem tampa) é a soma da área do fundo (
) com a área das quatro laterais (
retângulos de base
e altura
):
Substituindo
de acordo com a restrição do volume,
Passo 4
Para achar o valor de
que minimiza
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Fazendo
,
Passo 5
Com
, encontramos a altura:
Numericamente,
Resposta
O lado da base deve valer
e a altura