Calcule a derivada ( f^prime(x) ) das funções abaixo:
f(x)=1x cos ^2(4 x+3)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=1xcos^2l(4x+3r)
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto (pois f(x)=x^-1cdotcos^2(4x+3)) e a regra da cadeia (para derivar cos^2).

Passo 2

Reescrevemos
f(x)=x^-1,cos^2l(4x+3r)
e aplicamos a regra do produto:
f'(x)=(x^-1)',cos^2(4x+3)+x^-1,(cos^2(4x+3))'

Passo 3

Derivando x^-1, temos
(x^-1)'=-x^-2,
logo a primeira parcela é
-x^-2,cos^2(4x+3)=-cos^2(4x+3)x^2

Passo 4

Agora derivamos cos^2(4x+3) usando cadeia: seja u=4x+3 e v=cos u. Então
l(cos^2 ur)'=2cos ucdot(-sin u)cdot u' =2cos(4x+3)l(-sin(4x+3)r)cdot4 =-8cos(4x+3)sin(4x+3)
Multiplicando por x^-1 dá a segunda parcela:
-8cos(4x+3)sin(4x+3)x

Passo 5

Podemos simplificar -8cos usin u usando a fórmula do ângulo duplo 2cos usin u=sin(2u). Assim,
-8cos(4x+3)sin(4x+3) =-4l(2cos(4x+3)sin(4x+3)r) =-4sinl(2(4x+3)r) =-4sin(8x+6)
Logo a segunda parcela fica
-4sin(8x+6)x

Resposta

f'(x)=-cos^2(4x+3)x^2;-;4sin(8x+6)x

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