1.4L Em uma calculadora uma seqüência é gerada introduzindo-se um número e pressionandose a tecla 1 / x. Em que condições a seqüência tem limite?

Passo 1

O enunciado define a sequência (xn) por
xn+1 = 1xn
começando em um valor inicial x0. O conteúdo aqui é iteração de função e limites de sequência. Para que a sequência tenha limite limntoinftyxn=L, precisamos que L satisfaça a relação de recorrência no ponto de equilíbrio (ou ponto fixo).

Passo 2

Se existir L=limntoinftyxn, ao passar o limite na recorrência temos
L = 1L,

Passo 3

Da igualdade acima segue
L^2 = 1
logo
L = 1 ou L = -1

Passo 4

Para convergir a um desses L, a sequência deve ficar constante a partir de algum índice. Como a recorrência faz x1=1/x0, a única forma de não alterar o valor é ter
x0 = 1x0,
ou seja, x0^2=1. Assim, se x0=1 a sequência é 1,1,1,dots e se x0=-1 a sequência é -1,-1,-1,dots.

Passo 5

Se x0neqpm1, então x1=1/x0neq x0 e depois x2=1/x1=x0, de modo que a sequência oscila entre dois valores distintos e não converge. Note também que x0=0 não é permitido (divisão por zero).

Resposta

A sequência converge se, e somente se, o valor inicial satisfaz x0^2=1. Nessas duas situações:
se x0=1, limntoinftyxn=1; se x0=-1, limntoinftyxn=-1

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