1.4L Em uma calculadora uma seqüência é gerada introduzindo-se um número e pressionandose a tecla
. Em que condições a seqüência tem limite?
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
começando em um valor inicial
. O conteúdo aqui é iteração de função e limites de sequência. Para que a sequência tenha limite
, precisamos que
satisfaça a relação de recorrência no ponto de equilíbrio (ou ponto fixo).
Passo 2
Se existir
, ao passar o limite na recorrência temos
Passo 3
Da igualdade acima segue
logo
Passo 4
Para convergir a um desses
, a sequência deve ficar constante a partir de algum índice. Como a recorrência faz
, a única forma de não alterar o valor é ter
ou seja,
. Assim, se
a sequência é
e se
a sequência é
.
Passo 5
Se
, então
e depois
, de modo que a sequência oscila entre dois valores distintos e não converge. Note também que
não é permitido (divisão por zero).
Resposta
A sequência converge se, e somente se, o valor inicial satisfaz
. Nessas duas situações: